Analysis Beispiele

$(2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x y^{2}$ nach $y$ gleich $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{y^{2}}$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$

Schritt 1.4.2

Schreibe $\frac{1}{y^{2}}$ als ${(y^{2})}^{- 1}$ um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}]$

Schritt 1.4.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{- 1}$ und $g (y) = y^{2}$ .

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Schritt 1.4.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Schritt 1.4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Schritt 1.4.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Schritt 1.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y))$

Schritt 1.4.5

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.4.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- y^{2 \cdot - 2} (2 y))$

Schritt 1.4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- y^{- 4} (2 y))$

Schritt 1.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 y^{- 4} y)$

Schritt 1.4.7

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 (y^{1} y^{- 4}))$

Schritt 1.4.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 y^{1 - 4})$

Schritt 1.4.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 y^{- 3})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 \frac{1}{y^{3}})$

Schritt 1.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.5.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x \frac{- 2}{y^{3}}$

Schritt 1.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- \frac{2}{y^{3}})$

Schritt 1.5.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{y^{3}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - \frac{x \cdot 2}{y^{3}}$

Schritt 1.5.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 4 x^{2} y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 x^{2} y]$

Schritt 2.2

Da $4 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2} y$ nach $x$ gleich $4 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y (2 x)$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 8 y x$

Schritt 2.4.2

Stelle die Faktoren von $8 y x$ um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 8 x y$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $8 x y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$4 x y - \frac{2 x}{y^{3}} = 8 x y$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$4 x y - \frac{2 x}{y^{3}} = 8 x y$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $8 x y$ .

$\frac{8 x y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}$ .

$\frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ .

$\frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}}$

Schritt 4.3.2

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $y^{2}$ .

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}}$ mit $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2}}{y^{2}} \cdot \frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}}$

Schritt 4.3.2.2

Kombinieren.

$\frac{y^{2} (8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}})}$

Schritt 4.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + y^{2} \frac{x}{y^{2}}}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + y^{2} \frac{x}{y^{2}}}$

Schritt 4.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Schritt 4.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.5.1

Faktorisiere $y^{3}$ aus $y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))$ heraus.

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Schritt 4.3.5.1.1

Faktorisiere $y^{3}$ aus $y^{2} (8 x y)$ heraus.

$\frac{y^{3} (y^{- 1} (8 x y)) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Schritt 4.3.5.1.2

Faktorisiere $y^{3}$ aus $y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))$ heraus.

$\frac{y^{3} (y^{- 1} (8 x y)) + y^{3} (y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Schritt 4.3.5.1.3

Faktorisiere $y^{3}$ aus $y^{3} (y^{- 1} (8 x y)) + y^{3} (y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))$ heraus.

$\frac{y^{3} (y^{- 1} (8 x y) + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Schritt 4.3.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{y^{3} (8 y^{- 1} (x y) + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Schritt 4.3.5.3

Multipliziere $y^{- 1}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.5.3.1

Bewege $y$ .

$\frac{y^{3} (8 (y \cdot y^{- 1}) x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Schritt 4.3.5.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $y^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.5.3.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y^{3} (8 (y^{1} y^{- 1}) x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Schritt 4.3.5.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y^{3} (8 y^{1 - 1} x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Schritt 4.3.5.3.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{y^{3} (8 y^{0} x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Schritt 4.3.5.4

Vereinfache $8 y^{0} x$ .

$\frac{y^{3} (8 x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Schritt 4.3.5.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{y^{3} (8 x - y^{- 1} (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Schritt 4.3.5.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y^{3} (8 x - \frac{1}{y} (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Schritt 4.3.5.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y^{3} (8 x - \frac{1}{y} (4 x y) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Schritt 4.3.5.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 4.3.5.8.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y}$ in den Zähler.

$\frac{y^{3} (8 x + \frac{- 1}{y} (4 x y) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Schritt 4.3.5.8.2

Faktorisiere $y$ aus $4 x y$ heraus.

$\frac{y^{3} (8 x + \frac{- 1}{y} (y (4 x)) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Schritt 4.3.5.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{3} (8 x + \frac{- 1}{y} (y (4 x)) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Schritt 4.3.5.8.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{3} (8 x - (4 x) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Schritt 4.3.5.9

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Schritt 4.3.5.10

Multipliziere $- \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}})$ .

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Schritt 4.3.5.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + 1 \frac{1}{y} \frac{2 x}{y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Schritt 4.3.5.10.2

Mutltipliziere $\frac{1}{y}$ mit $1$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{1}{y} \cdot \frac{2 x}{y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Schritt 4.3.5.10.3

Mutltipliziere $\frac{1}{y}$ mit $\frac{2 x}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y \cdot y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Schritt 4.3.5.10.4

Multipliziere $y$ mit $y^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.5.10.4.1

Mutltipliziere $y$ mit $y^{3}$ .

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Schritt 4.3.5.10.4.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y^{1} y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Schritt 4.3.5.10.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y^{1 + 3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Schritt 4.3.5.10.4.2

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Schritt 4.3.5.11

Subtrahiere $4 x$ von $8 x$ .

$\frac{y^{3} (4 x + \frac{2 x}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Schritt 4.3.5.12

Faktorisiere $2 x$ aus $4 x + \frac{2 x}{y^{4}}$ heraus.

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Schritt 4.3.5.12.1

Faktorisiere $2 x$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{y^{3} (2 x (2) + \frac{2 x}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Schritt 4.3.5.12.2

Faktorisiere $2 x$ aus $\frac{2 x}{y^{4}}$ heraus.

$\frac{y^{3} (2 x (2) + 2 x \frac{1}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Schritt 4.3.5.12.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (2) + 2 x \frac{1}{y^{4}}$ heraus.

$\frac{y^{3} (2 x (2 + \frac{1}{y^{4}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

$\frac{y^{3} \cdot 2 x (2 + \frac{1}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Schritt 4.3.5.13

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y^{4}}{y^{4}}$ .

$\frac{y^{3} \cdot 2 x (\frac{2 y^{4}}{y^{4}} + \frac{1}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Schritt 4.3.5.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y^{3} \cdot 2 x \frac{2 y^{4} + 1}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Schritt 4.3.5.15

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.3.5.15.1

Kombiniere $y^{3}$ und $\frac{2 y^{4} + 1}{y^{4}}$ .

$\frac{2 x \frac{y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Schritt 4.3.5.15.2

Kombiniere $2$ und $\frac{y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}$ .

$\frac{x \frac{2 (y^{3} (2 y^{4} + 1))}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Schritt 4.3.5.15.3

Kombiniere $x$ und $\frac{2 (y^{3} (2 y^{4} + 1))}{y^{4}}$ .

$\frac{\frac{x (2 (y^{3} (2 y^{4} + 1)))}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Schritt 4.3.5.16

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{\frac{x \cdot 2 y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Schritt 4.3.5.17

Vereinfache den Ausdruck $\frac{x \cdot 2 y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.5.17.1

Faktorisiere $y^{3}$ aus $x \cdot 2 y^{3} (2 y^{4} + 1)$ heraus.

$\frac{\frac{y^{3} (x \cdot 2 (2 y^{4} + 1))}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Schritt 4.3.5.17.2

Faktorisiere $y^{3}$ aus $y^{4}$ heraus.

$\frac{\frac{y^{3} (x \cdot 2 (2 y^{4} + 1))}{y^{3} y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Schritt 4.3.5.17.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{y^{3} (x \cdot 2 (2 y^{4} + 1))}{y^{3} y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Schritt 4.3.5.17.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{x \cdot 2 (2 y^{4} + 1)}{y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Schritt 4.3.5.18

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Schritt 4.3.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.6.1

Faktorisiere $x$ aus $y^{2} (2 x y^{2}) + x$ heraus.

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Schritt 4.3.6.1.1

Faktorisiere $x$ aus $y^{2} (2 x y^{2})$ heraus.

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2})) + x}$

Schritt 4.3.6.1.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2})) + x^{1}}$

Schritt 4.3.6.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2})) + x \cdot 1}$

Schritt 4.3.6.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x (y^{2} (2 y^{2})) + x \cdot 1$ heraus.

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2}) + 1)}$

Schritt 4.3.6.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 y^{2} y^{2} + 1)}$

Schritt 4.3.6.3

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.6.3.1

Bewege $y^{2}$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 (y^{2} y^{2}) + 1)}$

Schritt 4.3.6.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 y^{2 + 2} + 1)}$

Schritt 4.3.6.3.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 y^{4} + 1)}$

Schritt 4.3.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y} \cdot \frac{1}{x (2 y^{4} + 1)}$

Schritt 4.3.8

Kombinieren.

$\frac{2 x (2 y^{4} + 1) \cdot 1}{y (x (2 y^{4} + 1))}$

Schritt 4.3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.3.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x (2 y^{4} + 1) \cdot 1}{y (x (2 y^{4} + 1))}$

Schritt 4.3.9.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(2 (2 y^{4} + 1)) \cdot 1}{y (2 y^{4} + 1)}$

Schritt 4.3.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y^{4} + 1$ .

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Schritt 4.3.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 y^{4} + 1) \cdot 1}{y (2 y^{4} + 1)}$

Schritt 4.3.10.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(2) \cdot 1}{y}$

Schritt 4.3.11

Ersetze $M$ durch $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ .

$\frac{2}{y}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{y} d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int \frac{2}{y} d y}$ .

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Schritt 5.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| y |)} + C$

Schritt 5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache $2 \ln (| y |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{2})} + C$

Schritt 5.4.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y |}^{2} + C$

Schritt 5.4.3

Entferne den Absolutwert in ${| y |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = y^{2} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $y^{2}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ mit $y^{2}$ .

$(2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x y^{2} y^{2} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Schritt 6.3

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1

Bewege $y^{2}$ .

$(2 x (y^{2} y^{2}) + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Schritt 6.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(2 x y^{2 + 2} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Schritt 6.3.3

Addiere $2$ und $2$ .

$(2 x y^{4} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(2 x y^{4} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Schritt 6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $4 x^{2} y$ mit $y^{2}$ .

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y \cdot y^{2} d y = 0$

Schritt 6.6

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.6.1

Bewege $y^{2}$ .

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} (y^{2} y) d y = 0$

Schritt 6.6.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 6.6.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} (y^{2} y^{1}) d y = 0$

Schritt 6.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y^{2 + 1} d y = 0$

Schritt 6.6.3

Addiere $2$ und $1$ .

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y^{3} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 4 x^{2} y^{3} d y$

Schritt 8

Integriere $N (x, y) = 4 x^{2} y^{3}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Da $4 x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $4 x^{2}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 4 x^{2} \int y^{3} d y$

Schritt 8.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{3}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$f (x, y) = 4 x^{2} (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

Schritt 8.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.3.1

Schreibe $4 x^{2} (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ als $4 x^{2} \frac{1}{4} y^{4} + C$ um.

$f (x, y) = 4 x^{2} \frac{1}{4} y^{4} + C$

Schritt 8.3.2

Vereinfache.

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Schritt 8.3.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = x^{2} \frac{4}{4} y^{4} + C$

Schritt 8.3.2.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{4}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} \cdot 4}{4} y^{4} + C$

Schritt 8.3.2.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{4 \cdot x^{2}}{4} y^{4} + C$

Schritt 8.3.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{4 x^{2}}{4} y^{4} + C$

Schritt 8.3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 8.3.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \frac{4 x^{2}}{4} y^{4} + C$

Schritt 8.3.2.5.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + g (x)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y^{4} + x$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4} + g (x)] = 2 x y^{4} + x$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} y^{4} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $y^{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x^{2} y^{4}$ nach $x$ gleich $y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$y^{4} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

Schritt 11.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{4}$ .

$2 y^{4} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$2 y^{4} x + \frac{d g}{d x} = 2 x y^{4} + x$

Schritt 11.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{4} x = 2 x y^{4} + x$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1

Subtrahiere $2 y^{4} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y^{4} + x - 2 y^{4} x$

Schritt 12.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x y^{4} + x - 2 y^{4} x$ .

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Schritt 12.1.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $2 x y^{4}$ und $- 2 y^{4} x$ neu an.

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{4} x + x - 2 y^{4} x$

Schritt 12.1.2.2

Subtrahiere $2 y^{4} x$ von $2 y^{4} x$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Schritt 12.1.2.3

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $x$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Schritt 13.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 14

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = x^{2} y^{4} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 15

Vereinfache $f (x, y) = x^{2} y^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

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Schritt 15.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Schritt 15.2

Stelle die Faktoren von $x^{2} y^{4}$ um.

$f (x, y) = y^{4} x^{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Schritt 15.3

Um $y^{4} x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y^{4} x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Schritt 15.4

Kombiniere $y^{4} x^{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{4} x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Schritt 15.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x, y) = \frac{y^{4} x^{2} \cdot 2 + x^{2}}{2} + C$

Schritt 15.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.6.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $y^{4} x^{2} \cdot 2 + x^{2}$ heraus.

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Schritt 15.6.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $y^{4} x^{2} \cdot 2$ heraus.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{4} \cdot 2) + x^{2}}{2} + C$

Schritt 15.6.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{4} \cdot 2) + x^{2} \cdot 1}{2} + C$

Schritt 15.6.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (y^{4} \cdot 2) + x^{2} \cdot 1$ heraus.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{4} \cdot 2 + 1)}{2} + C$

Schritt 15.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y^{4} + 1)}{2} + C$