Analysis Beispiele

$2 x (y + 1) + (x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x y + 2 x \cdot 1 + (x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = 0$

Schritt 1.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 x y + 2 x + (x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = 0$

Schritt 1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x y + 2 x + x^{2} \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} = 0$

Schritt 1.1.1.4

Mutltipliziere $\frac{d y}{d x}$ mit $1$ .

$2 x y + 2 x + x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = 0$

Schritt 1.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d y}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.2.1

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x + x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = - 2 x y$

Schritt 1.1.2.2

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = - 2 x y - 2 x$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x}$ heraus.

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Schritt 1.1.3.1

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $x^{2} \frac{d y}{d x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - 2 x y - 2 x$

Schritt 1.1.3.2

Potenziere $\frac{d y}{d x}$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - 2 x y - 2 x$

Schritt 1.1.3.3

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 = - 2 x y - 2 x$

Schritt 1.1.3.4

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1$ heraus.

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - 2 x y - 2 x$

Schritt 1.1.4

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - 2 x y - 2 x$ durch $x^{2} + 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - 2 x y - 2 x$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 1} + \frac{- 2 x}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 1$ .

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 1} + \frac{- 2 x}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 1} + \frac{- 2 x}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y - 2 x}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.4.3.2.1

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x y - 2 x$ heraus.

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Schritt 1.1.4.3.2.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 y) - 2 x}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4.3.2.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 y) + 2 x (- 1)}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4.3.2.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (- 1 y) + 2 x (- 1)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 y - 1)}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4.3.2.2

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- y - 1)}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4.3.3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.1.4.3.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- (y) - 1)}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4.3.3.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- (y) - 1 (1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- (y + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4.3.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.4.3.3.4.1

Schreibe $- (y + 1)$ als $- 1 (y + 1)$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (y + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4.3.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(2 x) (y + 1)}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{x^{2} + 1} (y + 1)$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} (- \frac{2 x}{x^{2} + 1} (y + 1))$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y + 1} (\frac{2 x}{x^{2} + 1} (y + 1))$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 1$ .

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Schritt 1.4.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y + 1}$ in den Zähler.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} (\frac{2 x}{x^{2} + 1} (y + 1))$

Schritt 1.4.2.2

Faktorisiere $y + 1$ aus $\frac{2 x}{x^{2} + 1} (y + 1)$ heraus.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} ((y + 1) \frac{2 x}{x^{2} + 1})$

Schritt 1.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} ((y + 1) \frac{2 x}{x^{2} + 1})$

Schritt 1.4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y + 1} d y = - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u_{1} = y + 1$ . Dann ist $d u_{1} = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u_{1} = y + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.1.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.3.4

Sei $u_{2} = x^{2} + 1$ . Dann ist $d u_{2} = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.4.1

Es sei $u_{2} = x^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.4.1.1

Differenziere $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.3.4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.4.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.3.4.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 2.3.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 2.3.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.8

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Schritt 2.3.9

Vereinfache.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Schritt 2.3.10

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2} + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y + 1 |) = - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y + 1 |) + \ln (| x^{2} + 1 |) = C$

Schritt 3.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y + 1 | | x^{2} + 1 |) = C$

Schritt 3.3

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\ln (| (y + 1) (x^{2} + 1) |) = C$

Schritt 3.4

Multipliziere $(y + 1) (x^{2} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1) |) = C$

Schritt 3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y x^{2} + y \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1) |) = C$

Schritt 3.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y x^{2} + y \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 |) = C$

Schritt 3.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\ln (| y x^{2} + y + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 |) = C$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\ln (| y x^{2} + y + x^{2} + 1 \cdot 1 |) = C$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\ln (| y x^{2} + y + x^{2} + 1 |) = C$

Schritt 3.6

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y x^{2} + y + x^{2} + 1 |)} = e^{C}$

Schritt 3.7

Schreibe $\ln (| y x^{2} + y + x^{2} + 1 |) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x^{2} + y + x^{2} + 1 |$

Schritt 3.8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.8.1

Schreibe die Gleichung als $| y x^{2} + y + x^{2} + 1 | = e^{C}$ um.

$| y x^{2} + y + x^{2} + 1 | = e^{C}$

Schritt 3.8.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y x^{2} + y + x^{2} + 1 = \pm e^{C}$

Schritt 3.8.3

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.8.3.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y x^{2} + y + 1 = \pm e^{C} - x^{2}$

Schritt 3.8.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y x^{2} + y = \pm e^{C} - x^{2} - 1$

Schritt 3.8.4

Faktorisiere $y$ aus $y x^{2} + y$ heraus.

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Schritt 3.8.4.1

Faktorisiere $y$ aus $y x^{2}$ heraus.

$y (x^{2}) + y = \pm e^{C} - x^{2} - 1$

Schritt 3.8.4.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y (x^{2}) + y = \pm e^{C} - x^{2} - 1$

Schritt 3.8.4.3

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$y (x^{2}) + y \cdot 1 = \pm e^{C} - x^{2} - 1$

Schritt 3.8.4.4

Faktorisiere $y$ aus $y (x^{2}) + y \cdot 1$ heraus.

$y (x^{2} + 1) = \pm e^{C} - x^{2} - 1$

Schritt 3.8.5

Teile jeden Ausdruck in $y (x^{2} + 1) = \pm e^{C} - x^{2} - 1$ durch $x^{2} + 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.8.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x^{2} + 1) = \pm e^{C} - x^{2} - 1$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{y (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{\pm e^{C}}{x^{2} + 1} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

Schritt 3.8.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.8.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 1$ .

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Schritt 3.8.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{\pm e^{C}}{x^{2} + 1} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

Schritt 3.8.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x^{2} + 1} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

Schritt 3.8.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.8.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.8.5.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{\pm e^{C}}{x^{2} + 1} - \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

Schritt 3.8.5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{\pm e^{C}}{x^{2} + 1} - \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - \frac{1}{x^{2} + 1}$

Schritt 3.8.5.3.2

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 3.8.5.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\pm e^{C} - x^{2}}{x^{2} + 1} - \frac{1}{x^{2} + 1}$

Schritt 3.8.5.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\pm e^{C} - x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{C - x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$