Analysis Beispiele

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} = - 1 - 2 r \cos (θ)$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d r}{d θ} + M (θ) r = Q (θ)$ um.

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Schritt 1.1

Addiere $2 r \cos (θ)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 r \cos (θ) = - 1$

Schritt 1.2

Faktorisiere $r$ aus $2 r \cos (θ)$ heraus.

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + r (2 \cos (θ)) = - 1$

Schritt 1.3

Stelle $r$ und $2 \cos (θ)$ um.

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \cos (θ) r = - 1$

Schritt 1.4

Teile jeden Ausdruck in $\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \cos (θ) r = - 1$ durch $\sin (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) \frac{d r}{d θ}}{\sin (θ)} + \frac{2 \cos (θ) r}{\sin (θ)} = \frac{- 1}{\sin (θ)}$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (θ)$ .

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (θ) \frac{d r}{d θ}}{\sin (θ)} + \frac{2 \cos (θ) r}{\sin (θ)} = \frac{- 1}{\sin (θ)}$

Schritt 1.5.2

Dividiere $\frac{d r}{d θ}$ durch $1$ .

$\frac{d r}{d θ} + \frac{2 \cos (θ) r}{\sin (θ)} = \frac{- 1}{\sin (θ)}$

Schritt 1.6

Faktorisiere $r$ aus $\frac{2 \cos (θ) r}{\sin (θ)}$ heraus.

$\frac{d r}{d θ} + r \frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)} = \frac{- 1}{\sin (θ)}$

Schritt 1.7

Stelle $r$ und $\frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)}$ um.

$\frac{d r}{d θ} + \frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)} r = \frac{- 1}{\sin (θ)}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (θ) d θ}$ , wobei $P (θ) = \frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)} d θ}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

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Schritt 2.2.1

Separiere Brüche.

$e^{\int \frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} d θ}$

Schritt 2.2.2

Wandle von $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ nach $\cot (θ)$ um.

$e^{\int \frac{2}{1} \cot (θ) d θ}$

Schritt 2.2.3

Dividiere $2$ durch $1$ .

$e^{\int 2 \cot (θ) d θ}$

Schritt 2.2.4

Da $2$ konstant bezüglich $θ$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{2 \int \cot (θ) d θ}$

Schritt 2.2.5

Das Integral von $\cot (θ)$ nach $θ$ ist $\ln (| \sin (θ) |)$ .

$e^{2 (\ln (| \sin (θ) |) + C)}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$e^{2 \ln (| \sin (θ) |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{2 \ln (\sin (θ))}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (\sin^{2} (θ))}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\sin^{2} (θ)$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\sin^{2} (θ)$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\sin^{2} (θ)$ .

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + \sin^{2} (θ) (\frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)} r) = \sin^{2} (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Separiere Brüche.

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + \sin^{2} (θ) (\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} r) = \sin^{2} (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

Schritt 3.2.2

Wandle von $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ nach $\cot (θ)$ um.

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + \sin^{2} (θ) (\frac{2}{1} \cot (θ) r) = \sin^{2} (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

Schritt 3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + \frac{2}{1} \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = \sin^{2} (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

Schritt 3.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = \sin^{2} (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (θ)$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $\sin (θ)$ aus $\sin^{2} (θ)$ heraus.

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = \sin (θ) \sin (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = \sin (θ) \sin (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = \sin (θ) \cdot - 1$

Schritt 3.4

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\sin (θ)$ .

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = - 1 \cdot \sin (θ)$

Schritt 3.5

Schreibe $- 1 \sin (θ)$ als $- \sin (θ)$ um.

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = - \sin (θ)$

Schritt 3.6

Stelle die Faktoren in $\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = - \sin (θ)$ um.

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 r \sin^{2} (θ) \cot (θ) = - \sin (θ)$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ) r] = - \sin (θ)$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ) r] d θ = \int - \sin (θ) d θ$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\sin^{2} (θ) r = \int - \sin (θ) d θ$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $θ$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\sin^{2} (θ) r = - \int \sin (θ) d θ$

Schritt 7.2

Das Integral von $\sin (θ)$ nach $θ$ ist $- \cos (θ)$ .

$\sin^{2} (θ) r = - (- \cos (θ) + C)$

Schritt 7.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache.

$\sin^{2} (θ) r = - - \cos (θ) + C$

Schritt 7.3.2

Vereinfache.

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Schritt 7.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\sin^{2} (θ) r = 1 \cos (θ) + C$

Schritt 7.3.2.2

Mutltipliziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$\sin^{2} (θ) r = \cos (θ) + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $\sin^{2} (θ) r = \cos (θ) + C$ durch $\sin^{2} (θ)$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $\sin^{2} (θ) r = \cos (θ) + C$ durch $\sin^{2} (θ)$ .

$\frac{\sin^{2} (θ) r}{\sin^{2} (θ)} = \frac{\cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin^{2} (θ)$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin^{2} (θ) r}{\sin^{2} (θ)} = \frac{\cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $r$ durch $1$ .

$r = \frac{\cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Faktorisiere $\sin (θ)$ aus $\sin^{2} (θ)$ heraus.

$r = \frac{\cos (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)} + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

Schritt 8.3.1.2

Separiere Brüche.

$r = \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

Schritt 8.3.1.3

Wandle von $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ nach $\cot (θ)$ um.

$r = \frac{1}{\sin (θ)} \cot (θ) + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

Schritt 8.3.1.4

Wandle von $\frac{1}{\sin (θ)}$ nach $\csc (θ)$ um.

$r = \csc (θ) \cot (θ) + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

Schritt 8.3.1.5

Multipliziere mit $1$ .

$r = \csc (θ) \cot (θ) + \frac{C}{\sin^{2} (θ) \cdot 1}$

Schritt 8.3.1.6

Separiere Brüche.

$r = \csc (θ) \cot (θ) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (θ)}$

Schritt 8.3.1.7

Wandle von $\frac{1}{\sin^{2} (θ)}$ nach $\csc^{2} (θ)$ um.

$r = \csc (θ) \cot (θ) + \frac{C}{1} \csc^{2} (θ)$

Schritt 8.3.1.8

Dividiere $C$ durch $1$ .

$r = \csc (θ) \cot (θ) + C \csc^{2} (θ)$