Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 4}{- 3 y^{2}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2} + 4}{- 3 y^{2}}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- 3 y^{2}$ heraus.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2} + 4}{y^{2} \cdot - 3}$

Schritt 1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2} + 4}{y^{2} \cdot - 3}$

Schritt 1.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 4}{- 3}$

Schritt 1.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} + 4}{3}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$y^{2} d y = - \frac{x^{2} + 4}{3} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y^{2} d y = \int - \frac{x^{2} + 4}{3} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{x^{2} + 4}{3} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int \frac{x^{2} + 4}{3} d x$

Schritt 2.3.2

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int x^{2} + 4 d x)$

Schritt 2.3.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3} (\int x^{2} d x + \int 4 d x)$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int 4 d x)$

Schritt 2.3.5

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 x + C_{3})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + 4 x) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + 4 x) + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + 4 x) + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + 4 x) + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + 4 x) + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + 4 x) + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $3 (- \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + 4 x) + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{3} + 4 x) + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (4 x) + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Multipliziere $- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3}}{3}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{x^{3}}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{3}}{3 \cdot 3} - \frac{1}{3} (4 x) + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{3}}{9} - \frac{1}{3} (4 x) + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.4

Multipliziere $- \frac{1}{3} (4 x)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{3}}{9} - 4 (\frac{1}{3}) x + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.4.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{3}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{3}}{9} + \frac{- 4}{3} x + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.4.3

Kombiniere $\frac{- 4}{3}$ und $x$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{3}}{9} + \frac{- 4 x}{3} + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{3}}{9} - \frac{4 x}{3} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{3}}{9}) + 3 (- \frac{4 x}{3}) + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{3}}{9}$ in den Zähler.

$y^{3} = 3 \frac{- x^{3}}{9} + 3 (- \frac{4 x}{3}) + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3.1.2

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$y^{3} = 3 \frac{- x^{3}}{3 (3)} + 3 (- \frac{4 x}{3}) + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{3} = 3 \frac{- x^{3}}{3 \cdot 3} + 3 (- \frac{4 x}{3}) + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = \frac{- x^{3}}{3} + 3 (- \frac{4 x}{3}) + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4 x}{3}$ in den Zähler.

$y^{3} = \frac{- x^{3}}{3} + 3 \frac{- 4 x}{3} + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{3} = \frac{- x^{3}}{3} + 3 \frac{- 4 x}{3} + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = \frac{- x^{3}}{3} - 4 x + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{3} = - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + 3 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{- \frac{x^{3}}{3} - 4 x + 3 K}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\sqrt[3]{- \frac{x^{3}}{3} - 4 x + 3 K}$ .

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Schritt 3.4.1

Um $- 4 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{x^{3}}{3} - 4 x \cdot \frac{3}{3} + 3 K}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.2.1

Kombiniere $- 4 x$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{x^{3}}{3} + \frac{- 4 x \cdot 3}{3} + 3 K}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{\frac{- x^{3} - 4 x \cdot 3}{3} + 3 K}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{3} - 4 x \cdot 3$ heraus.

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Schritt 3.4.3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{3}$ heraus.

$y = \sqrt[3]{\frac{x (- x^{2}) - 4 x \cdot 3}{3} + 3 K}$

Schritt 3.4.3.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x \cdot 3$ heraus.

$y = \sqrt[3]{\frac{x (- x^{2}) + x (- 4 \cdot 3)}{3} + 3 K}$

Schritt 3.4.3.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- x^{2}) + x (- 4 \cdot 3)$ heraus.

$y = \sqrt[3]{\frac{x (- x^{2} - 4 \cdot 3)}{3} + 3 K}$

Schritt 3.4.3.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (- x^{2} - 12)}{3} + 3 K}$

Schritt 3.4.4

Um $3 K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (- x^{2} - 12)}{3} + 3 K \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 3.4.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.5.1

Kombiniere $3 K$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (- x^{2} - 12)}{3} + \frac{3 K \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.4.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{\frac{x (- x^{2} - 12) + 3 K \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \sqrt[3]{\frac{x (- x^{2}) + x \cdot - 12 + 3 K \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.4.6.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \sqrt[3]{\frac{- x \cdot x^{2} + x \cdot - 12 + 3 K \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.4.6.3

Bringe $- 12$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- x \cdot x^{2} - 12 \cdot x + 3 K \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.4.6.4

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.6.4.1

Bewege $x^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- (x^{2} x) - 12 \cdot x + 3 K \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.4.6.4.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.4.6.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- (x^{2} x^{1}) - 12 \cdot x + 3 K \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.4.6.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \sqrt[3]{\frac{- x^{2 + 1} - 12 \cdot x + 3 K \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.4.6.4.3

Addiere $2$ und $1$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- x^{3} - 12 \cdot x + 3 K \cdot 3}{3}}$

$y = \sqrt[3]{\frac{- x^{3} - 12 x + 3 K \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.4.6.5

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- x^{3} - 12 x + 9 K}{3}}$

Schritt 3.4.7

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{- x^{3} - 12 x + 9 K}{3}}$ als $\frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K}}{\sqrt[3]{3}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K}}{\sqrt[3]{3}}$

Schritt 3.4.8

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K}}{\sqrt[3]{3}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K}}{\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Schritt 3.4.9

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.9.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K}}{\sqrt[3]{3}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Schritt 3.4.9.2

Potenziere $\sqrt[3]{3}$ mit $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Schritt 3.4.9.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1 + 2}}$

Schritt 3.4.9.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{3}}$

Schritt 3.4.9.5

Schreibe ${\sqrt[3]{3}}^{3}$ als $3$ um.

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Schritt 3.4.9.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{3}$ als $3^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{(3^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 3.4.9.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 3.4.9.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.4.9.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.9.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.4.9.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{1}}$

Schritt 3.4.9.5.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3}$

Schritt 3.4.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.10.1

Schreibe ${\sqrt[3]{3}}^{2}$ als $\sqrt[3]{3^{2}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} \sqrt[3]{3^{2}}}{3}$

Schritt 3.4.10.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} \sqrt[3]{9}}{3}$

Schritt 3.4.11

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.4.11.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \frac{\sqrt[3]{(- x^{3} - 12 x + 9 K) \cdot 9}}{3}$

Schritt 3.4.11.2

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt[3]{(- x^{3} - 12 x + 9 K) \cdot 9}}{3}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{9 (- x^{3} - 12 x + 9 K)}}{3}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt[3]{9 (- x^{3} - 12 x + K)}}{3}$