Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = y \sin^{3} (x)$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \sin^{3} (x))$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y \sin^{3} (x)$ heraus.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\sin^{3} (x)))$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \sin^{3} (x))$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \sin^{3} (x)$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = \sin^{3} (x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \sin^{3} (x) d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sin^{3} (x) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $\sin^{2} (x)$ aus.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sin^{2} (x) \sin (x) d x$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\sin^{2} (x)$ in $1 - \cos^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 - \cos^{2} (x)) \sin (x) d x$

Schritt 2.3.3

Sei $u = \cos (x)$ . Dann ist $d u = - \sin (x) d x$ , folglich $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.3.1

Es sei $u = \cos (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Differenziere $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.3.3.1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Schritt 2.3.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 1 + u^{2} d u$

Schritt 2.3.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 1 d u + \int u^{2} d u$

Schritt 2.3.5

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| y |) + C_{1} = - u + C_{2} + \int u^{2} d u$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - u + C_{2} + \frac{1}{3} u^{3} + C_{3}$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = - u + \frac{1}{3} u^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + C_{4}$

Schritt 2.3.9

Stelle die Terme um.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \cos^{3} (x) - \cos (x) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} \cos^{3} (x) - \cos (x) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{3} \cos^{3} (x) - \cos (x) + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y |) = \frac{1}{3} \cos^{3} (x) - \cos (x) + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cos^{3} (x) - \cos (x) + C} = | y |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{\frac{1}{3} \cdot \cos^{3} (x) - \cos (x) + C}$ um.

$| y | = e^{\frac{1}{3} \cdot \cos^{3} (x) - \cos (x) + C}$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\cos^{3} (x)$ .

$| y | = e^{\frac{\cos^{3} (x)}{3} - \cos (x) + C}$

Schritt 3.3.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{\cos^{3} (x)}{3} - \cos (x) + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{\frac{\cos^{3} (x)}{3} - \cos (x) + C}$ als $e^{\frac{\cos^{3} (x)}{3} - \cos (x)} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{\frac{\cos^{3} (x)}{3} - \cos (x)} e^{C}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{\frac{\cos^{3} (x)}{3} - \cos (x)}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{\frac{\cos^{3} (x)}{3} - \cos (x)}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{\frac{\cos^{3} (x)}{3} - \cos (x)}$