Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + y}{x}$ : $y (1) = 1$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung als $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1.1

Zerlege den Bruch $\frac{x + y}{x}$ in zwei Brüche.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x} + \frac{y}{x}$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $\frac{y}{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = \frac{x}{x}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $y$ aus $- \frac{y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = \frac{x}{x}$

Schritt 1.3

Stelle $y$ und $- \frac{1}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = \frac{x}{x}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - \frac{1}{x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $- \frac{1}{x}$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- \ln (x)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{- 1}$

Schritt 2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 3.2.4

Multipliziere $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{y}{x}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 3.2.4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 3.2.4.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 3.2.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 3.2.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot 1$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \frac{1}{x}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{x} y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 7

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $y$ .

$\frac{y}{x} = \ln (| x |) + C$

Schritt 8.2

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\ln (| x |) + C) x$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = (\ln (| x |) + C) x$

Schritt 8.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (\ln (| x |) + C) x$

Schritt 8.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.2.1

Vereinfache $(\ln (| x |) + C) x$ .

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Schritt 8.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \ln (| x |) x + C x$

Schritt 8.3.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.3.2.1.2.1

Stelle die Faktoren in $\ln (| x |) x + C x$ um.

$y = x \ln (| x |) + C x$

Schritt 8.3.2.1.2.2

Stelle $x \ln (| x |)$ und $C x$ um.

$y = C x + x \ln (| x |)$

Schritt 9

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $1$ für $x$ und $1$ für $y$ in $y = C x + x \ln (| x |)$ ersetzt wird.

$1 = C \cdot 1 + 1 \ln (| 1 |)$

Schritt 10

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 10.1

Schreibe die Gleichung als $C \cdot 1 + 1 \ln (| 1 |) = 1$ um.

$C \cdot 1 + 1 \ln (| 1 |) = 1$

Schritt 10.2

Vereinfache $C \cdot 1 + 1 \ln (| 1 |)$ .

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Schritt 10.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1.1

Mutltipliziere $C$ mit $1$ .

$C + 1 \ln (| 1 |) = 1$

Schritt 10.2.1.2

Mutltipliziere $\ln (| 1 |)$ mit $1$ .

$C + \ln (| 1 |) = 1$

Schritt 10.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$C + \ln (1) = 1$

Schritt 10.2.1.4

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$C + 0 = 1$

Schritt 10.2.2

Addiere $C$ und $0$ .

$C = 1$

Schritt 11

Setze $1$ für $C$ in $y = C x + x \ln (| x |)$ ein und vereinfache.

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Schritt 11.1

Ersetze $C$ durch $1$ .

$y = 1 x + x \ln (| x |)$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$y = x + x \ln (| x |)$