Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} + \frac{2 x + 1}{x + 1} y = x - 1$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} + \frac{2 x + 1}{x + 1} y = x - 1$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Schritt 1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1} y}{x} = 1 + \frac{- 1}{x}$

Schritt 1.4

Kombiniere $\frac{2 x + 1}{x + 1}$ und $y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{(2 x + 1) y}{x + 1}}{x} = 1 + \frac{- 1}{x}$

Schritt 1.5

Faktorisiere $y$ aus $\frac{\frac{(2 x + 1) y}{x + 1}}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} = 1 + \frac{- 1}{x}$

Schritt 1.6

Stelle $y$ und $\frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} y = 1 + \frac{- 1}{x}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x}$ .

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Schritt 2.2.1

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e^{\int \frac{2 x + 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{2 x + 1}{x + 1}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$e^{\int \frac{2 x + 1}{(x + 1) x} d x}$

Schritt 2.2.2

Sei $u = (x + 1) x$ . Dann ist $d u = (2 x + 1) d x$ , folglich $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.2.1

Es sei $u = (x + 1) x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Differenziere $(x + 1) x$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) x]$

Schritt 2.2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + 1$ und $g (x) = x$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 2.2.2.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.2.2.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x + 1) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 2.2.2.1.3.2

Mutltipliziere $x + 1$ mit $1$ .

$x + 1 + x \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 2.2.2.1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x + 1 + x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.2.2.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x + 1 + x (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.2.2.1.3.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x + 1 + x (1 + 0)$

Schritt 2.2.2.1.3.6

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.2.1.3.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$x + 1 + x \cdot 1$

Schritt 2.2.2.1.3.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x + 1 + x$

Schritt 2.2.2.1.3.6.3

Addiere $x$ und $x$ .

$2 x + 1$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{\int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 2.2.3

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$e^{\ln (| u |) + C}$

Schritt 2.2.4

Ersetze alle $u$ durch $(x + 1) x$ .

$e^{\ln (| (x + 1) x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\ln ((x + 1) x)}$

Schritt 2.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$(x + 1) x$

Schritt 2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + 1 x$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + 1 x$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} + x$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{2} + x$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{2} + x$ .

$(x^{2} + x) \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) (\frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} y) = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) (\frac{\frac{2 x + 1}{x + 1}}{x} y) = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Schritt 3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) (\frac{2 x + 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x} y) = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $\frac{2 x + 1}{x + 1}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) (\frac{2 x + 1}{(x + 1) x} y) = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $\frac{2 x + 1}{(x + 1) x}$ und $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (x^{2} + x) \frac{(2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $x^{2} + x$ mit $\frac{(2 x + 1) y}{(x + 1) x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x^{2} + x) ((2 x + 1) y)}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Schritt 3.2.6

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + x$ heraus.

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Schritt 3.2.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x \cdot x + x) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Schritt 3.2.6.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x \cdot x + x^{1}) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Schritt 3.2.6.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x \cdot x + x \cdot 1) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Schritt 3.2.6.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 1$ heraus.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{x (x + 1) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Schritt 3.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{x (x + 1) (2 x + 1) y}{(x + 1) x} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Schritt 3.2.7.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{((x + 1) (2 x + 1)) y}{x + 1} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Schritt 3.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 3.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + \frac{(x + 1) (2 x + 1) y}{x + 1} = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Schritt 3.2.8.2

Dividiere $(2 x + 1) y$ durch $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + (2 x + 1) y = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Schritt 3.2.9

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + 1 y = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Schritt 3.2.10

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = (x^{2} + x) \cdot 1 + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Schritt 3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $x^{2} + x$ mit $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + (x^{2} + x) \frac{- 1}{x}$

Schritt 3.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + (x^{2} + x) (- \frac{1}{x})$

Schritt 3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + x^{2} (- \frac{1}{x}) + x (- \frac{1}{x})$

Schritt 3.3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x^{2} \frac{1}{x} + x (- \frac{1}{x})$

Schritt 3.3.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x^{2} \frac{1}{x} - x \frac{1}{x}$

Schritt 3.3.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.3.6.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + x (- x) \frac{1}{x} - x \frac{1}{x}$

Schritt 3.3.6.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x + x (- x) \frac{1}{x} - x \frac{1}{x}$

Schritt 3.3.6.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x - x \frac{1}{x}$

Schritt 3.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.3.6.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x + x \cdot - 1 \frac{1}{x}$

Schritt 3.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x + x \cdot - 1 \frac{1}{x}$

Schritt 3.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + x - x - 1$

Schritt 3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} + x - x - 1$ .

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} + 0 - 1$

Schritt 3.4.2

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y = x^{2} - 1$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x) y] = x^{2} - 1$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [(x^{2} + x) y] d x = \int x^{2} - 1 d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$(x^{2} + x) y = \int x^{2} - 1 d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$(x^{2} + x) y = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Schritt 7.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 1 d x$

Schritt 7.3

Wende die Konstantenregel an.

$(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} + C - x + C$

Schritt 7.4

Vereinfache.

$(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ durch $x^{2} + x$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $(x^{2} + x) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ durch $x^{2} + x$ .

$\frac{(x^{2} + x) y}{x^{2} + x} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x^{2} + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + x$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x^{2} + x) y}{x^{2} + x} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x^{2} + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x^{2} + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x^{2} + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Schritt 8.3.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + x$ heraus.

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Schritt 8.3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x \cdot x + x} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Schritt 8.3.1.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x \cdot x + x^{1}} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Schritt 8.3.1.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x \cdot x + x \cdot 1} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Schritt 8.3.1.2.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 1$ heraus.

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x (x + 1)} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Schritt 8.3.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x (x + 1)} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Schritt 8.3.1.4

Kombinieren.

$y = \frac{x^{3} \cdot 1}{3 (x (x + 1))} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Schritt 8.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 8.3.1.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} \cdot 1$ heraus.

$y = \frac{x (x^{2} \cdot 1)}{3 (x (x + 1))} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Schritt 8.3.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.1.5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $3 (x (x + 1))$ heraus.

$y = \frac{x (x^{2} \cdot 1)}{x (3 (x + 1))} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Schritt 8.3.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x (x^{2} \cdot 1)}{x (3 (x + 1))} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Schritt 8.3.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Schritt 8.3.1.6

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x^{2} + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Schritt 8.3.1.7

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + x$ heraus.

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Schritt 8.3.1.7.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x \cdot x + x} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Schritt 8.3.1.7.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x \cdot x + x^{1}} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Schritt 8.3.1.7.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x \cdot x + x \cdot 1} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Schritt 8.3.1.7.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 1$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x (x + 1)} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Schritt 8.3.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.3.1.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x (x + 1)} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Schritt 8.3.1.8.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} + \frac{- 1}{x + 1} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Schritt 8.3.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x^{2} + x}$

Schritt 8.3.1.10

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + x$ heraus.

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Schritt 8.3.1.10.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x \cdot x + x}$

Schritt 8.3.1.10.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x \cdot x + x^{1}}$

Schritt 8.3.1.10.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x \cdot x + x \cdot 1}$

Schritt 8.3.1.10.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 1$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} + \frac{C}{x (x + 1)}$

Schritt 8.3.2

Um $- \frac{1}{x + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{C}{x (x + 1)}$

Schritt 8.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $3 (x + 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{3}{(x + 1) \cdot 3} + \frac{C}{x (x + 1)}$

Schritt 8.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(x + 1) \cdot 3$ um.

$y = \frac{x^{2}}{3 (x + 1)} - \frac{3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x (x + 1)}$

Schritt 8.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x (x + 1)}$

Schritt 8.3.5

Um $\frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$y = \frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x (x + 1)}$

Schritt 8.3.6

Um $\frac{C}{x (x + 1)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x (x + 1)} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 8.3.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $3 (x + 1) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.3.7.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2} - 3}{3 (x + 1)}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$y = \frac{(x^{2} - 3) x}{3 (x + 1) x} + \frac{C}{x (x + 1)} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 8.3.7.2

Mutltipliziere $\frac{C}{x (x + 1)}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{(x^{2} - 3) x}{3 (x + 1) x} + \frac{C \cdot 3}{x (x + 1) \cdot 3}$

Schritt 8.3.7.3

Stelle die Faktoren von $3 (x + 1) x$ um.

$y = \frac{(x^{2} - 3) x}{3 x (x + 1)} + \frac{C \cdot 3}{x (x + 1) \cdot 3}$

Schritt 8.3.7.4

Stelle die Faktoren von $x (x + 1) \cdot 3$ um.

$y = \frac{(x^{2} - 3) x}{3 x (x + 1)} + \frac{C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

Schritt 8.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{(x^{2} - 3) x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

Schritt 8.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x^{2} x - 3 x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

Schritt 8.3.9.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.3.9.2.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 8.3.9.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{x^{2} x^{1} - 3 x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

Schritt 8.3.9.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{x^{2 + 1} - 3 x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

Schritt 8.3.9.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$y = \frac{x^{3} - 3 x + C \cdot 3}{3 x (x + 1)}$

Schritt 8.3.9.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $C$ .

$y = \frac{x^{3} - 3 x + 3 C}{3 x (x + 1)}$