Analysis Beispiele

$(2 x y + 2 y) d x - y d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 2 x y + 2 y$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + 2 y]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x y + 2 y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 y]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $y$ gleich $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 y]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 y]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [2 y]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2 \cdot 1$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = - y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.2

Da $- y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $2 x + 2$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $0$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 x + 2 = 0$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$2 x + 2 = 0$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $2 x + 2$ .

$\frac{0 - (2 x + 2)}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $2 x y + 2 y$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $2 x y + 2 y$ .

$\frac{0 - (2 x + 2)}{2 x y + 2 y}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{0 - (2 x) - 1 \cdot 2}{2 x y + 2 y}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{0 - 2 x - 1 \cdot 2}{2 x y + 2 y}$

Schritt 4.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{0 - 2 x - 2}{2 x y + 2 y}$

Schritt 4.3.2.4

Subtrahiere $- (- 2 x - 2)$ von $0$ .

$\frac{- 2 x - 2}{2 x y + 2 y}$

Schritt 4.3.2.5

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x - 2$ heraus.

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Schritt 4.3.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2 (- x) - 2}{2 x y + 2 y}$

Schritt 4.3.2.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (- x) + 2 (- 1)}{2 x y + 2 y}$

Schritt 4.3.2.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x) + 2 (- 1)$ heraus.

$\frac{2 (- x - 1)}{2 x y + 2 y}$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $2 y$ aus $2 x y + 2 y$ heraus.

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $2 y$ aus $2 x y$ heraus.

$\frac{2 (- x - 1)}{2 y (x) + 2 y}$

Schritt 4.3.3.2

Faktorisiere $2 y$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{2 (- x - 1)}{2 y (x) + 2 y (1)}$

Schritt 4.3.3.3

Faktorisiere $2 y$ aus $2 y (x) + 2 y (1)$ heraus.

$\frac{2 (- x - 1)}{2 y (x + 1)}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- x - 1)}{2 y (x + 1)}$

Schritt 4.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x - 1}{y (x + 1)}$

Schritt 4.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x - 1$ und $x + 1$ .

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Schritt 4.3.5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- (x) - 1}{y (x + 1)}$

Schritt 4.3.5.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- (x) - 1 (1)}{y (x + 1)}$

Schritt 4.3.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{- (x + 1)}{y (x + 1)}$

Schritt 4.3.5.4

Schreibe $- (x + 1)$ als $- 1 (x + 1)$ um.

$\frac{- 1 (x + 1)}{y (x + 1)}$

Schritt 4.3.5.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (x + 1)}{y (x + 1)}$

Schritt 4.3.5.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{y}$

Schritt 4.3.6

Ersetze $M$ durch $2 x y + 2 y$ .

$- \frac{1}{y}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Schritt 5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache $- \ln (| y |)$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Schritt 5.4.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Schritt 5.4.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(2 x y + 2 y) d x - y d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{y}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $2 x y + 2 y$ mit $\frac{1}{y}$ .

$(2 x y + 2 y) \frac{1}{y} d x - y d y = 0$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2 x y + 2 y$ mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{2 x y + 2 y}{y} d x - y d y = 0$

Schritt 6.3

Faktorisiere $2 y$ aus $2 x y + 2 y$ heraus.

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $2 y$ aus $2 x y$ heraus.

$\frac{2 y (x) + 2 y}{y} d x - y d y = 0$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $2 y$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{2 y (x) + 2 y (1)}{y} d x - y d y = 0$

Schritt 6.3.3

Faktorisiere $2 y$ aus $2 y (x) + 2 y (1)$ heraus.

$\frac{2 y (x + 1)}{y} d x - y d y = 0$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y (x + 1)}{y} d x - y d y = 0$

Schritt 6.4.2

Dividiere $2 (x + 1)$ durch $1$ .

$2 (x + 1) d x - y d y = 0$

Schritt 6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x + 2 \cdot 1) d x - y d y = 0$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$(2 x + 2) d x - y d y = 0$

Schritt 6.7

Mutltipliziere $- y$ mit $\frac{1}{y}$ .

$(2 x + 2) d x - y \frac{1}{y} d y = 0$

Schritt 6.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 6.8.1

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$(2 x + 2) d x + y \cdot - 1 \frac{1}{y} d y = 0$

Schritt 6.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(2 x + 2) d x + y \cdot - 1 \frac{1}{y} d y = 0$

Schritt 6.8.3

Forme den Ausdruck um.

$(2 x + 2) d x - 1 d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - 1 d y$

Schritt 8

Integriere $N (x, y) = - 1$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = - y + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = - y + g (x)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x + 2$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [- y + g (x)] = 2 x + 2$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- y + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + 2$

Schritt 11.3

Da $- y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + 2$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$0 + \frac{d g}{d x} = 2 x + 2$

Schritt 11.5

Addiere $0$ und $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 2$

Schritt 12

Bestimme die Stammfunktion von $2 x + 2$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 12.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 2 x + 2$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x + 2 d x$

Schritt 12.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x + 2 d x$

Schritt 12.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$g (x) = \int 2 x d x + \int 2 d x$

Schritt 12.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$g (x) = 2 \int x d x + \int 2 d x$

Schritt 12.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 d x$

Schritt 12.6

Wende die Konstantenregel an.

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 x + C$

Schritt 12.7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 x + C$

Schritt 12.8

Vereinfache.

$g (x) = x^{2} + 2 x + C$

Schritt 13

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = - y + g (x)$ ein.

$f (x, y) = - y + x^{2} + 2 x + C$