Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\sin (x + 5)}{y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{\sin (x + 5)}{y})$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{\sin (x + 5)}{y}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{\sin (x + 5)}{y}$

Schritt 1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{\sin (x + 5)}{y}$

Schritt 1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y \frac{d y}{d x} = - \sin (x + 5)$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$y d y = - \sin (x + 5) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y d y = \int - \sin (x + 5) d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \sin (x + 5) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \sin (x + 5) d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u = x + 5$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = x + 5$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x + 5]$

Schritt 2.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.3.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.3.2.1.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.3.2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \sin (u) d u$

Schritt 2.3.3

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (- \cos (u) + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.1

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - - \cos (u) + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 \cos (u) + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.2

Mutltipliziere $\cos (u)$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \cos (u) + C_{2}$

Schritt 2.3.5

Ersetze alle $u$ durch $x + 5$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \cos (x + 5) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} = \cos (x + 5) + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\cos (x + 5) + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\cos (x + 5) + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\cos (x + 5) + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 (\cos (x + 5) + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 \cos (x + 5) + 2 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{2 \cos (x + 5) + 2 K}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $2$ aus $2 \cos (x + 5) + 2 K$ heraus.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cos (x + 5)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (\cos (x + 5)) + 2 K}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $2$ aus $2 K$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (\cos (x + 5)) + 2 K}$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (\cos (x + 5)) + 2 K$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (\cos (x + 5) + K)}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{2 (\cos (x + 5) + K)}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{2 (\cos (x + 5) + K)}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{2 (\cos (x + 5) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (\cos (x + 5) + K)}$

$y = \sqrt{2 (\cos (x + 5) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (\cos (x + 5) + K)}$

$y = \sqrt{2 (\cos (x + 5) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (\cos (x + 5) + K)}$