Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{2} + 7 x y + 2 y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als eine Funktion von $\frac{y}{x}$ um.

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Schritt 1.1

Spalte $\frac{4 x^{2} + 7 x y + 2 y^{2}}{x^{2}}$ auf und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Zerlege den Bruch $\frac{4 x^{2} + 7 x y + 2 y^{2}}{x^{2}}$ in zwei Brüche.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{2} + 7 x y}{x^{2}} + \frac{2 y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{2} + 7 x y$ heraus.

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Schritt 1.1.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 x) + 7 x y}{x^{2}} + \frac{2 y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $7 x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 x) + x (7 y)}{x^{2}} + \frac{2 y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (4 x) + x (7 y)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 x + 7 y)}{x^{2}} + \frac{2 y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 x + 7 y)}{x \cdot x} + \frac{2 y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 x + 7 y)}{x \cdot x} + \frac{2 y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x + 7 y}{x} + \frac{2 y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Zerlege den Bruch $\frac{4 x + 7 y}{x}$ in zwei Brüche.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{x} + \frac{7 y}{x} + \frac{2 y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{x} + \frac{7 y}{x} + \frac{2 y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.2

Dividiere $4$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 + \frac{7 y}{x} + \frac{2 y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Klammere $\frac{y}{x}$ von $\frac{7 y}{x}$ aus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $\frac{y}{x}$ aus $\frac{7 y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = 4 + \frac{y}{x} \cdot 7 + \frac{2 y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.2.2

Stelle $\frac{y}{x}$ und $7$ um.

$\frac{d y}{d x} = 4 + 7 \cdot \frac{y}{x} + \frac{2 y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.3

Klammere $\frac{y}{x}$ von $\frac{2 y^{2}}{x^{2}}$ aus.

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $\frac{y}{x}$ aus $\frac{2 y^{2}}{x^{2}}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = 4 + 7 \cdot \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot \frac{2 y}{x}$

Schritt 1.3.2

Stelle $\frac{y}{x}$ und $\frac{2 y}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} = 4 + 7 \cdot \frac{y}{x} + \frac{2 y}{x} \cdot \frac{y}{x}$

Schritt 1.4

Klammere $\frac{y}{x}$ von $\frac{2 y}{x}$ aus.

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $\frac{y}{x}$ aus $\frac{2 y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = 4 + 7 \cdot \frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cdot 2 \frac{y}{x}$

Schritt 1.4.2

Stelle $\frac{y}{x}$ und $2$ um.

$\frac{d y}{d x} = 4 + 7 \cdot \frac{y}{x} + 2 \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x}$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 + 7 \cdot V + 2 \cdot V \cdot V$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 4 + 7 \cdot V + 2 \cdot V \cdot V$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Multipliziere $V$ mit $V$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.1.1.1

Bewege $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 4 + 7 V + 2 \cdot (V \cdot V)$

Schritt 6.1.1.1.2

Mutltipliziere $V$ mit $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 4 + 7 V + 2 \cdot V^{2}$

$x \frac{d V}{d x} + V = 4 + 7 V + 2 V^{2}$

Schritt 6.1.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d V}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.1.2.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = 4 + 7 V + 2 V^{2} - V$

Schritt 6.1.1.2.2

Subtrahiere $V$ von $7 V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 4 + 2 V^{2} + 6 V$

Schritt 6.1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = 4 + 2 V^{2} + 6 V$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = 4 + 2 V^{2} + 6 V$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{4}{x} + \frac{2 V^{2}}{x} + \frac{6 V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{4}{x} + \frac{2 V^{2}}{x} + \frac{6 V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{4}{x} + \frac{2 V^{2}}{x} + \frac{6 V}{x}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 6.1.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{4 + 2 V^{2}}{x} + \frac{6 V}{x}$

Schritt 6.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{4 + 2 V^{2} + 6 V}{x}$

Schritt 6.1.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4 + 2 V^{2} + 6 V$ heraus.

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Schritt 6.1.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 \cdot 2 + 2 V^{2} + 6 V}{x}$

Schritt 6.1.2.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $6 V$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 \cdot 2 + 2 V^{2} + 2 (3 V)}{x}$

Schritt 6.1.2.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 2 + 2 V^{2}$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 \cdot (2 + V^{2}) + 2 (3 V)}{x}$

Schritt 6.1.2.3.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot (2 + V^{2}) + 2 (3 V)$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 \cdot (2 + V^{2} + 3 V)}{x}$

Schritt 6.1.2.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2 + V^{2} + 3 V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 (2 + V^{2} + 3 V)}{x}$

Schritt 6.1.2.3.2

Faktorisiere.

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Schritt 6.1.2.3.2.1

Faktorisiere $2 + V^{2} + 3 V$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.1.2.3.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $2$ und deren Summe $3$ ist.

$1, 2$

Schritt 6.1.2.3.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 ((V + 1) (V + 2))}{x}$

Schritt 6.1.2.3.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 (V + 1) (V + 2)}{x}$

Schritt 6.1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{(V + 1) (V + 2)}$ .

$\frac{1}{(V + 1) (V + 2)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(V + 1) (V + 2)} \cdot \frac{2 (V + 1) (V + 2)}{x}$

Schritt 6.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(V + 1) (V + 2)$ .

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Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $(V + 1) (V + 2)$ aus $2 (V + 1) (V + 2)$ heraus.

$\frac{1}{(V + 1) (V + 2)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(V + 1) (V + 2)} \cdot \frac{(V + 1) (V + 2) (2)}{x}$

Schritt 6.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(V + 1) (V + 2)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(V + 1) (V + 2)} \cdot \frac{(V + 1) (V + 2) \cdot 2}{x}$

Schritt 6.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{(V + 1) (V + 2)} \frac{d V}{d x} = \frac{2}{x}$

Schritt 6.1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{(V + 1) (V + 2)} d V = \frac{2}{x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{(V + 1) (V + 2)} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 6.2.2.1.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{V + 1}$

Schritt 6.2.2.1.1.2

$\frac{A}{V + 1} + \frac{B}{V + 2}$

Schritt 6.2.2.1.1.3

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $(V + 1) (V + 2)$ .

$\frac{1 (V + 1) (V + 2)}{(V + 1) (V + 2)} = \frac{(A) (V + 1) (V + 2)}{V + 1} + \frac{(B) (V + 1) (V + 2)}{V + 2}$

Schritt 6.2.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V + 1$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (V + 1) (V + 2)}{(V + 1) (V + 2)} = \frac{(A) (V + 1) (V + 2)}{V + 1} + \frac{(B) (V + 1) (V + 2)}{V + 2}$

Schritt 6.2.2.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 (V + 2)}{V + 2} = \frac{(A) (V + 1) (V + 2)}{V + 1} + \frac{(B) (V + 1) (V + 2)}{V + 2}$

Schritt 6.2.2.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V + 2$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (V + 2)}{V + 2} = \frac{(A) (V + 1) (V + 2)}{V + 1} + \frac{(B) (V + 1) (V + 2)}{V + 2}$

Schritt 6.2.2.1.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{(A) (V + 1) (V + 2)}{V + 1} + \frac{(B) (V + 1) (V + 2)}{V + 2}$

Schritt 6.2.2.1.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V + 1$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{A (V + 1) (V + 2)}{V + 1} + \frac{(B) (V + 1) (V + 2)}{V + 2}$

Schritt 6.2.2.1.1.6.1.2

Dividiere $(A) (V + 2)$ durch $1$ .

$1 = (A) (V + 2) + \frac{(B) (V + 1) (V + 2)}{V + 2}$

Schritt 6.2.2.1.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A V + A \cdot 2 + \frac{(B) (V + 1) (V + 2)}{V + 2}$

Schritt 6.2.2.1.1.6.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $A$ .

$1 = A V + 2 \cdot A + \frac{(B) (V + 1) (V + 2)}{V + 2}$

Schritt 6.2.2.1.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V + 2$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = A V + 2 A + \frac{(B) (V + 1) (V + 2)}{V + 2}$

Schritt 6.2.2.1.1.6.4.2

Dividiere $(B) (V + 1)$ durch $1$ .

$1 = A V + 2 A + (B) (V + 1)$

Schritt 6.2.2.1.1.6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A V + 2 A + B V + B \cdot 1$

Schritt 6.2.2.1.1.6.6

Mutltipliziere $B$ mit $1$ .

$1 = A V + 2 A + B V + B$

Schritt 6.2.2.1.1.7

Bewege $2 A$ .

$1 = A V + B V + 2 A + B$

Schritt 6.2.2.1.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $V$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = A + B$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $V$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = 2 A + B$

Schritt 6.2.2.1.2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = A + B$

$1 = 2 A + B$

$0 = A + B$

$1 = 2 A + B$

Schritt 6.2.2.1.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 6.2.2.1.3.1

Löse in $0 = A + B$ nach $A$ auf.

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Schritt 6.2.2.1.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $A + B = 0$ um.

$A + B = 0$

$1 = 2 A + B$

Schritt 6.2.2.1.3.1.2

Subtrahiere $B$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A = - B$

$1 = 2 A + B$

$A = - B$

$1 = 2 A + B$

Schritt 6.2.2.1.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $- B$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.2.2.1.3.2.1

Ersetze alle $A$ in $1 = 2 A + B$ durch $- B$ .

$1 = 2 (- B) + B$

$A = - B$

Schritt 6.2.2.1.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1.3.2.2.1

Vereinfache $2 (- B) + B$ .

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Schritt 6.2.2.1.3.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$1 = - 2 B + B$

$A = - B$

Schritt 6.2.2.1.3.2.2.1.2

Addiere $- 2 B$ und $B$ .

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

Schritt 6.2.2.1.3.3

Löse in $1 = - B$ nach $B$ auf.

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Schritt 6.2.2.1.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- B = 1$ um.

$- B = 1$

$A = - B$

Schritt 6.2.2.1.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- B = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- B = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Schritt 6.2.2.1.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1.3.3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{B}{1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Schritt 6.2.2.1.3.3.2.2.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Schritt 6.2.2.1.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1.3.3.2.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

Schritt 6.2.2.1.3.4

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $- 1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.2.2.1.3.4.1

Ersetze alle $B$ in $A = - B$ durch $- 1$ .

$A = - (- 1)$

$B = - 1$

Schritt 6.2.2.1.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1.3.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

Schritt 6.2.2.1.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$A = 1, B = - 1$

Schritt 6.2.2.1.4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{V + 1} + \frac{B}{V + 2}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$\frac{1}{V + 1} + \frac{- 1}{V + 2}$

Schritt 6.2.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \frac{1}{V + 1} - \frac{1}{V + 2} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{V + 1} d V + \int - \frac{1}{V + 2} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3

Sei $u_{1} = V + 1$ . Dann ist $d u_{1} = d V$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 6.2.2.3.1

Es sei $u_{1} = V + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d V}$ .

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Schritt 6.2.2.3.1.1

Differenziere $V + 1$ .

$\frac{d}{d V} [V + 1]$

Schritt 6.2.2.3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $V + 1$ nach $V$ $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$

Schritt 6.2.2.3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ gleich $n V^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [1]$

Schritt 6.2.2.3.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $V$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $V$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 6.2.2.3.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 6.2.2.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{V + 2} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 6.2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} + \int - \frac{1}{V + 2} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 6.2.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $V$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} - \int \frac{1}{V + 2} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 6.2.2.6

Sei $u_{2} = V + 2$ . Dann ist $d u_{2} = d V$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 6.2.2.6.1

Es sei $u_{2} = V + 2$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d V}$ .

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Schritt 6.2.2.6.1.1

Differenziere $V + 2$ .

$\frac{d}{d V} [V + 2]$

Schritt 6.2.2.6.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $V + 2$ nach $V$ $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [2]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [2]$

Schritt 6.2.2.6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ gleich $n V^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [2]$

Schritt 6.2.2.6.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $V$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $V$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 6.2.2.6.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 6.2.2.6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 6.2.2.7

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} - (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 6.2.2.8

Vereinfache.

$\ln (| u_{1} |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 6.2.2.9

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| u_{1} |}{| u_{2} |}) + C_{3} = \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 6.2.2.10

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 6.2.2.10.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $V + 1$ .

$\ln (\frac{| V + 1 |}{| u_{2} |}) + C_{3} = \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 6.2.2.10.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $V + 2$ .

$\ln (\frac{| V + 1 |}{| V + 2 |}) + C_{3} = \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 6.2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln (\frac{| V + 1 |}{| V + 2 |}) + C_{3} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (\frac{| V + 1 |}{| V + 2 |}) + C_{3} = 2 (\ln (| x |) + C_{4})$

Schritt 6.2.3.3

Vereinfache.

$\ln (\frac{| V + 1 |}{| V + 2 |}) + C_{3} = 2 \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (\frac{| V + 1 |}{| V + 2 |}) = 2 \ln (| x |) + C$

Schritt 6.3

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (\frac{| V + 1 |}{| V + 2 |}) - 2 \ln (| x |) = C$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache $\ln (\frac{| V + 1 |}{| V + 2 |}) - 2 \ln (| x |)$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.2.1.1.1

Vereinfache $- 2 \ln (| x |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (\frac{| V + 1 |}{| V + 2 |}) - \ln ({| x |}^{2}) = C$

Schritt 6.3.2.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln (\frac{| V + 1 |}{| V + 2 |}) - \ln (x^{2}) = C$

Schritt 6.3.2.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{| V + 1 |}{| V + 2 |}}{x^{2}}) = C$

Schritt 6.3.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\ln (\frac{| V + 1 |}{| V + 2 |} \cdot \frac{1}{x^{2}}) = C$

Schritt 6.3.2.1.4

Kombinieren.

$\ln (\frac{| V + 1 | \cdot 1}{| V + 2 | x^{2}}) = C$

Schritt 6.3.2.1.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.3.2.1.5.1

Mutltipliziere $| V + 1 |$ mit $1$ .

$\ln (\frac{| V + 1 |}{| V + 2 | x^{2}}) = C$

Schritt 6.3.2.1.5.2

Stelle die Faktoren in $\ln (\frac{| V + 1 |}{| V + 2 | x^{2}})$ um.

$\ln (\frac{| V + 1 |}{x^{2} | V + 2 |}) = C$

Schritt 6.3.3

Um nach $V$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| V + 1 |}{x^{2} | V + 2 |})} = e^{C}$

Schritt 6.3.4

Schreibe $\ln (\frac{| V + 1 |}{x^{2} | V + 2 |}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| V + 1 |}{x^{2} | V + 2 |}$

Schritt 6.3.5

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| V + 1 |}{x^{2} | V + 2 |} = e^{C}$ um.

$\frac{| V + 1 |}{x^{2} | V + 2 |} = e^{C}$

Schritt 6.3.5.2

Multipliziere beide Seiten mit $x^{2} | V + 2 |$ .

$\frac{| V + 1 |}{x^{2} | V + 2 |} (x^{2} | V + 2 |) = e^{C} (x^{2} | V + 2 |)$

Schritt 6.3.5.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} | V + 2 |$ .

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Schritt 6.3.5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| V + 1 |}{x^{2} | V + 2 |} (x^{2} | V + 2 |) = e^{C} (x^{2} | V + 2 |)$

Schritt 6.3.5.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| V + 1 | = e^{C} (x^{2} | V + 2 |)$

Schritt 6.3.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.5.3.2.1

Stelle die Faktoren in $e^{C} x^{2} | V + 2 |$ um.

$| V + 1 | = x^{2} e^{C} | V + 2 |$

Schritt 6.3.5.4

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.5.4.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} e^{C} | V + 2 | = | V + 1 |$ um.

$x^{2} e^{C} | V + 2 | = | V + 1 |$

Schritt 6.3.5.4.2

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} e^{C} | V + 2 | = | V + 1 |$ durch $x^{2} e^{C}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.5.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} e^{C} | V + 2 | = | V + 1 |$ durch $x^{2} e^{C}$ .

$\frac{x^{2} e^{C} | V + 2 |}{x^{2} e^{C}} = \frac{| V + 1 |}{x^{2} e^{C}}$

Schritt 6.3.5.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 6.3.5.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} e^{C} | V + 2 |}{x^{2} e^{C}} = \frac{| V + 1 |}{x^{2} e^{C}}$

Schritt 6.3.5.4.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{C} | V + 2 |}{e^{C}} = \frac{| V + 1 |}{x^{2} e^{C}}$

Schritt 6.3.5.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{C}$ .

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Schritt 6.3.5.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{C} | V + 2 |}{e^{C}} = \frac{| V + 1 |}{x^{2} e^{C}}$

Schritt 6.3.5.4.2.2.2.2

Dividiere $| V + 2 |$ durch $1$ .

$| V + 2 | = \frac{| V + 1 |}{x^{2} e^{C}}$

Schritt 6.3.5.4.3

Schreibe die Betragsgleichung als vier Gleichungen ohne Absolutwerte.

$V + 2 = \frac{V + 1}{x^{2} e^{C}}$

$V + 2 = - \frac{V + 1}{x^{2} e^{C}}$

$- (V + 2) = \frac{V + 1}{x^{2} e^{C}}$

$- (V + 2) = - \frac{V + 1}{x^{2} e^{C}}$

Schritt 6.3.5.4.4

Nach dem Vereinfachen gibt es nur zwei eindeutige Gleichungen, die gelöst werden müssen.

$V + 2 = \frac{V + 1}{x^{2} e^{C}}$

$V + 2 = - \frac{V + 1}{x^{2} e^{C}}$

Schritt 6.3.5.4.5

Löse $V + 2 = \frac{V + 1}{x^{2} e^{C}}$ nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.5.4.5.1

Multipliziere beide Seiten mit $x^{2} e^{C}$ .

$(V + 2) (x^{2} e^{C}) = \frac{V + 1}{x^{2} e^{C}} (x^{2} e^{C})$

Schritt 6.3.5.4.5.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.5.4.5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.5.4.5.2.1.1

Vereinfache $(V + 2) (x^{2} e^{C})$ .

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Schritt 6.3.5.4.5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$V (x^{2} e^{C}) + 2 (x^{2} e^{C}) = \frac{V + 1}{x^{2} e^{C}} (x^{2} e^{C})$

Schritt 6.3.5.4.5.2.1.1.2

Stelle $V$ und $x^{2}$ um.

$x^{2} V e^{C} + 2 x^{2} e^{C} = \frac{V + 1}{x^{2} e^{C}} (x^{2} e^{C})$

Schritt 6.3.5.4.5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.5.4.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} e^{C}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.5.4.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} V e^{C} + 2 x^{2} e^{C} = \frac{V + 1}{x^{2} e^{C}} (x^{2} e^{C})$

Schritt 6.3.5.4.5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} V e^{C} + 2 x^{2} e^{C} = V + 1$

Schritt 6.3.5.4.5.3

Löse nach $V$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.5.4.5.3.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} V e^{C} + 2 x^{2} e^{C} - V = 1$

Schritt 6.3.5.4.5.3.2

Subtrahiere $2 x^{2} e^{C}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} V e^{C} - V = 1 - 2 x^{2} e^{C}$

Schritt 6.3.5.4.5.3.3

Faktorisiere $V$ aus $x^{2} V e^{C} - V$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.5.4.5.3.3.1

Faktorisiere $V$ aus $x^{2} V e^{C}$ heraus.

$V (x^{2} e^{C}) - V = 1 - 2 x^{2} e^{C}$

Schritt 6.3.5.4.5.3.3.2

Faktorisiere $V$ aus $- V$ heraus.

$V (x^{2} e^{C}) + V \cdot - 1 = 1 - 2 x^{2} e^{C}$

Schritt 6.3.5.4.5.3.3.3

Faktorisiere $V$ aus $V (x^{2} e^{C}) + V \cdot - 1$ heraus.

$V (x^{2} e^{C} - 1) = 1 - 2 x^{2} e^{C}$

Schritt 6.3.5.4.5.3.4

Teile jeden Ausdruck in $V (x^{2} e^{C} - 1) = 1 - 2 x^{2} e^{C}$ durch $x^{2} e^{C} - 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.5.4.5.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $V (x^{2} e^{C} - 1) = 1 - 2 x^{2} e^{C}$ durch $x^{2} e^{C} - 1$ .

$\frac{V (x^{2} e^{C} - 1)}{x^{2} e^{C} - 1} = \frac{1}{x^{2} e^{C} - 1} + \frac{- 2 x^{2} e^{C}}{x^{2} e^{C} - 1}$

Schritt 6.3.5.4.5.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.5.4.5.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} e^{C} - 1$ .

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Schritt 6.3.5.4.5.3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{V (x^{2} e^{C} - 1)}{x^{2} e^{C} - 1} = \frac{1}{x^{2} e^{C} - 1} + \frac{- 2 x^{2} e^{C}}{x^{2} e^{C} - 1}$

Schritt 6.3.5.4.5.3.4.2.1.2

Dividiere $V$ durch $1$ .

$V = \frac{1}{x^{2} e^{C} - 1} + \frac{- 2 x^{2} e^{C}}{x^{2} e^{C} - 1}$

Schritt 6.3.5.4.5.3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.5.4.5.3.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = \frac{1 - 2 x^{2} e^{C}}{x^{2} e^{C} - 1}$

Schritt 6.3.5.4.6

Löse $V + 2 = - \frac{V + 1}{x^{2} e^{C}}$ nach $V$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.5.4.6.1

Multipliziere beide Seiten mit $x^{2} e^{C}$ .

$(V + 2) (x^{2} e^{C}) = - \frac{V + 1}{x^{2} e^{C}} (x^{2} e^{C})$

Schritt 6.3.5.4.6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.3.5.4.6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.5.4.6.2.1.1

Vereinfache $(V + 2) (x^{2} e^{C})$ .

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Schritt 6.3.5.4.6.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$V (x^{2} e^{C}) + 2 (x^{2} e^{C}) = - \frac{V + 1}{x^{2} e^{C}} (x^{2} e^{C})$

Schritt 6.3.5.4.6.2.1.1.2

Stelle $V$ und $x^{2}$ um.

$x^{2} V e^{C} + 2 x^{2} e^{C} = - \frac{V + 1}{x^{2} e^{C}} (x^{2} e^{C})$

Schritt 6.3.5.4.6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.5.4.6.2.2.1

Vereinfache $- \frac{V + 1}{x^{2} e^{C}} (x^{2} e^{C})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.5.4.6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} e^{C}$ .

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Schritt 6.3.5.4.6.2.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{V + 1}{x^{2} e^{C}}$ in den Zähler.

$x^{2} V e^{C} + 2 x^{2} e^{C} = \frac{- (V + 1)}{x^{2} e^{C}} (x^{2} e^{C})$

Schritt 6.3.5.4.6.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} V e^{C} + 2 x^{2} e^{C} = \frac{- (V + 1)}{x^{2} e^{C}} (x^{2} e^{C})$

Schritt 6.3.5.4.6.2.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} V e^{C} + 2 x^{2} e^{C} = - (V + 1)$

Schritt 6.3.5.4.6.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} V e^{C} + 2 x^{2} e^{C} = - V - 1 \cdot 1$

Schritt 6.3.5.4.6.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x^{2} V e^{C} + 2 x^{2} e^{C} = - V - 1$

Schritt 6.3.5.4.6.3

Löse nach $V$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.5.4.6.3.1

Addiere $V$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} V e^{C} + 2 x^{2} e^{C} + V = - 1$

Schritt 6.3.5.4.6.3.2

Subtrahiere $2 x^{2} e^{C}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} V e^{C} + V = - 1 - 2 x^{2} e^{C}$

Schritt 6.3.5.4.6.3.3

Faktorisiere $V$ aus $x^{2} V e^{C} + V$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.5.4.6.3.3.1

Faktorisiere $V$ aus $x^{2} V e^{C}$ heraus.

$V (x^{2} e^{C}) + V = - 1 - 2 x^{2} e^{C}$

Schritt 6.3.5.4.6.3.3.2

Potenziere $V$ mit $1$ .

$V (x^{2} e^{C}) + V = - 1 - 2 x^{2} e^{C}$

Schritt 6.3.5.4.6.3.3.3

Faktorisiere $V$ aus $V^{1}$ heraus.

$V (x^{2} e^{C}) + V \cdot 1 = - 1 - 2 x^{2} e^{C}$

Schritt 6.3.5.4.6.3.3.4

Faktorisiere $V$ aus $V (x^{2} e^{C}) + V \cdot 1$ heraus.

$V (x^{2} e^{C} + 1) = - 1 - 2 x^{2} e^{C}$

Schritt 6.3.5.4.6.3.4

Teile jeden Ausdruck in $V (x^{2} e^{C} + 1) = - 1 - 2 x^{2} e^{C}$ durch $x^{2} e^{C} + 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.5.4.6.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $V (x^{2} e^{C} + 1) = - 1 - 2 x^{2} e^{C}$ durch $x^{2} e^{C} + 1$ .

$\frac{V (x^{2} e^{C} + 1)}{x^{2} e^{C} + 1} = \frac{- 1}{x^{2} e^{C} + 1} + \frac{- 2 x^{2} e^{C}}{x^{2} e^{C} + 1}$

Schritt 6.3.5.4.6.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.5.4.6.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} e^{C} + 1$ .

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Schritt 6.3.5.4.6.3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{V (x^{2} e^{C} + 1)}{x^{2} e^{C} + 1} = \frac{- 1}{x^{2} e^{C} + 1} + \frac{- 2 x^{2} e^{C}}{x^{2} e^{C} + 1}$

Schritt 6.3.5.4.6.3.4.2.1.2

Dividiere $V$ durch $1$ .

$V = \frac{- 1}{x^{2} e^{C} + 1} + \frac{- 2 x^{2} e^{C}}{x^{2} e^{C} + 1}$

Schritt 6.3.5.4.6.3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.5.4.6.3.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = \frac{- 1 - 2 x^{2} e^{C}}{x^{2} e^{C} + 1}$

Schritt 6.3.5.4.6.3.4.3.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$V = \frac{- 1 (1) - 2 x^{2} e^{C}}{x^{2} e^{C} + 1}$

Schritt 6.3.5.4.6.3.4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{2} e^{C}$ heraus.

$V = \frac{- 1 (1) - (2 x^{2} e^{C})}{x^{2} e^{C} + 1}$

Schritt 6.3.5.4.6.3.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (2 x^{2} e^{C})$ heraus.

$V = \frac{- 1 (1 + 2 x^{2} e^{C})}{x^{2} e^{C} + 1}$

Schritt 6.3.5.4.6.3.4.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$V = - \frac{1 + 2 x^{2} e^{C}}{x^{2} e^{C} + 1}$

Schritt 6.3.5.4.7

Liste alle Lösungen auf.

$V = \frac{1 - 2 x^{2} e^{C}}{x^{2} e^{C} - 1}$

$V = - \frac{1 + 2 x^{2} e^{C}}{x^{2} e^{C} + 1}$

$V = \frac{1 - 2 x^{2} e^{C}}{x^{2} e^{C} - 1}$

$V = - \frac{1 + 2 x^{2} e^{C}}{x^{2} e^{C} + 1}$

$V = \frac{1 - 2 x^{2} e^{C}}{x^{2} e^{C} - 1}$

$V = - \frac{1 + 2 x^{2} e^{C}}{x^{2} e^{C} + 1}$

$V = \frac{1 - 2 x^{2} e^{C}}{x^{2} e^{C} - 1}$

$V = - \frac{1 + 2 x^{2} e^{C}}{x^{2} e^{C} + 1}$

Schritt 6.4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$V = \frac{1 - 2 x^{2} C}{x^{2} C - 1}$

$V = - \frac{1 + 2 x^{2} C}{x^{2} C + 1}$

$V = \frac{1 - 2 x^{2} C}{x^{2} C - 1}$

$V = - \frac{1 + 2 x^{2} C}{x^{2} C + 1}$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \frac{1 - 2 x^{2} C}{x^{2} C - 1}, - \frac{1 + 2 x^{2} C}{x^{2} C + 1}$

Schritt 8

Löse $\frac{y}{x} = \frac{1 - 2 x^{2} C}{x^{2} C - 1}$ nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Forme um.

$\frac{y}{x} = \frac{1 - 2 x^{2} C}{x^{2} C - 1}$

Schritt 8.2

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs. Setze dies gleich dem Produkt aus dem Nenner des ersten Bruchs und dem Zähler des zweiten Bruchs.

$y (x^{2} C - 1) = x (1 - 2 x^{2} C)$

Schritt 8.3

Teile jeden Ausdruck in $y (x^{2} C - 1) = x (1 - 2 x^{2} C)$ durch $x^{2} C - 1$ und vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x^{2} C - 1) = x (1 - 2 x^{2} C)$ durch $x^{2} C - 1$ .

$\frac{y (x^{2} C - 1)}{x^{2} C - 1} = \frac{x (1 - 2 x^{2} C)}{x^{2} C - 1}$

Schritt 8.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} C - 1$ .

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Schritt 8.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x^{2} C - 1)}{x^{2} C - 1} = \frac{x (1 - 2 x^{2} C)}{x^{2} C - 1}$

Schritt 8.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x (1 - 2 x^{2} C)}{x^{2} C - 1}$

Schritt 9

Löse $\frac{y}{x} = - \frac{1 + 2 x^{2} C}{x^{2} C + 1}$ nach $y$ auf.

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Schritt 9.1

Forme um.

$\frac{y}{x} = - \frac{1 + 2 x^{2} C}{x^{2} C + 1}$

Schritt 9.2

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs. Setze dies gleich dem Produkt aus dem Nenner des ersten Bruchs und dem Zähler des zweiten Bruchs.

$y (x^{2} C + 1) = x (- (1 + 2 x^{2} C))$

Schritt 9.3

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 9.3.1

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y (x^{2} C + 1) = x (- 1 \cdot 1 - (2 x^{2} C))$

Schritt 9.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y (x^{2} C + 1) = x (- 1 - (2 x^{2} C))$

Schritt 9.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y (x^{2} C + 1) = x (- 1 - 2 x^{2} C)$

Schritt 9.3.2

Teile jeden Ausdruck in $y (x^{2} C + 1) = x (- 1 - 2 x^{2} C)$ durch $x^{2} C + 1$ und vereinfache.

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Schritt 9.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x^{2} C + 1) = x (- 1 - 2 x^{2} C)$ durch $x^{2} C + 1$ .

$\frac{y (x^{2} C + 1)}{x^{2} C + 1} = \frac{x (- 1 - 2 x^{2} C)}{x^{2} C + 1}$

Schritt 9.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} C + 1$ .

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Schritt 9.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x^{2} C + 1)}{x^{2} C + 1} = \frac{x (- 1 - 2 x^{2} C)}{x^{2} C + 1}$

Schritt 9.3.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x (- 1 - 2 x^{2} C)}{x^{2} C + 1}$

Schritt 9.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.2.3.1

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$y = \frac{x (- 1 (1) - 2 x^{2} C)}{x^{2} C + 1}$

Schritt 9.3.2.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{2} C$ heraus.

$y = \frac{x (- 1 (1) - (2 x^{2} C))}{x^{2} C + 1}$

Schritt 9.3.2.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (2 x^{2} C)$ heraus.

$y = \frac{x (- 1 (1 + 2 x^{2} C))}{x^{2} C + 1}$

Schritt 9.3.2.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x (1 + 2 x^{2} C)}{x^{2} C + 1}$

Schritt 10

Liste die Lösungen auf.

$y = \frac{x (1 - 2 x^{2} C)}{x^{2} C - 1}, y = - \frac{x (1 + 2 x^{2} C)}{x^{2} C + 1}$