Analysis Beispiele

$d x - (1 + 2 x \tan (y)) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 1$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.2

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = - (1 + 2 x \tan (y))$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (1 + 2 x \tan (y))]$

Schritt 2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (1 + 2 x \tan (y))$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [1 + 2 x \tan (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [1 + 2 x \tan (y)]$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 2 x \tan (y)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)])$

Schritt 2.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)])$

Schritt 2.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [2 x \tan (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)]$

Schritt 2.6

Da $2 \tan (y)$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x \tan (y)$ nach $x$ gleich $2 \tan (y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 \tan (y) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (\tan (y) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \tan (y) \cdot 1$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \tan (y)$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $0$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 2 \tan (y)$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$0 = - 2 \tan (y)$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$0 = - 2 \tan (y)$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $- 2 \tan (y)$ .

$\frac{- 2 \tan (y) - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $0$ .

$\frac{- 2 \tan (y) + 0}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $1$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $1$ .

$\frac{- 2 \tan (y) + 0}{1}$

Schritt 4.3.2

Dividiere $- 2 \tan (y) + 0$ durch $1$ .

$- 2 \tan (y) + 0$

Schritt 4.3.3

Ersetze $M$ durch $1$ .

$- 2 \tan (y)$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - 2 \tan (y) d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - 2 \tan (y) d y}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \tan (y) d y}$

Schritt 5.2

Das Integral von $\tan (y)$ nach $y$ ist $\ln (| \sec (y) |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| \sec (y) |) + C)}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| \sec (y) |)} + C$

Schritt 5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache $- 2 \ln (| \sec (y) |)$ , indem du $- 2$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| \sec (y) |}^{- 2})} + C$

Schritt 5.4.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| \sec (y) |}^{- 2} + C$

Schritt 5.4.3

Entferne den Absolutwert in ${| \sec (y) |}^{- 2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = \sec^{- 2} (y) + C$

Schritt 5.4.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{\sec^{2} (y)} + C$

Schritt 5.4.5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$μ (x, y) = \frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)} + C$

Schritt 5.4.6

Schreibe $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$ als ${(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$ um.

$μ (x, y) = {(\frac{1}{\sec (y)})}^{2} + C$

Schritt 5.4.7

Schreibe $\sec (y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$μ (x, y) = {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}})}^{2} + C$

Schritt 5.4.8

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (y)}$ zu dividieren.

$μ (x, y) = {(1 \cos (y))}^{2} + C$

Schritt 5.4.9

Mutltipliziere $\cos (y)$ mit $1$ .

$μ (x, y) = \cos^{2} (y) + C$

Schritt 6

Mutltipliziere $1$ mit $\cos^{2} (y)$ .

$d x - (1 + 2 x \tan (y)) d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \cos^{2} (y) d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = \cos^{2} (y)$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x + g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cos^{2} (y) x + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\cos^{2} (y) x$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)]$ .

$x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = \cos (y)$ .

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Schritt 11.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (y)$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [\cos (y)]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Schritt 11.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d y} [\cos (y)]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Schritt 11.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (y)$ .

$x (2 \cos (y) \frac{d}{d y} [\cos (y)]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Schritt 11.3.3

Die Ableitung von $\cos (y)$ nach $y$ ist $- \sin (y)$ .

$x (2 \cos (y) (- \sin (y))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Schritt 11.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x (- 2 \cos (y) \sin (y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$x (- 2 \cos (y) \sin (y)) + \frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Schritt 11.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} - 2 x \cos (y) \sin (y) = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1

Addiere $2 x \cos (y) \sin (y)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y) + 2 x \cos (y) \sin (y)$

Schritt 12.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y) + 2 x \cos (y) \sin (y)$ .

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Schritt 12.1.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $- 2 x \sin (y) \cos (y)$ und $2 x \cos (y) \sin (y)$ neu an.

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \cos (y) \sin (y) + 2 x \cos (y) \sin (y)$

Schritt 12.1.2.2

Addiere $- 2 x \cos (y) \sin (y)$ und $2 x \cos (y) \sin (y)$ .

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) + 0$

Schritt 12.1.2.3

Addiere $- \cos^{2} (y)$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y)$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $- \cos^{2} (y)$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y)$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \cos^{2} (y) d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \cos^{2} (y) d y$

Schritt 13.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (y) = - \int \cos^{2} (y) d y$

Schritt 13.4

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (y)$ als $\frac{1 + \cos (2 y)}{2}$ neu zu schreiben.

$g (y) = - \int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y$

Schritt 13.5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$g (y) = - (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y)$

Schritt 13.6

Entferne die Klammern.

$g (y) = - \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y$

Schritt 13.7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$g (y) = - \frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y)$

Schritt 13.8

Wende die Konstantenregel an.

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \int \cos (2 y) d y)$

Schritt 13.9

Sei $u = 2 y$ . Dann ist $d u = 2 d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 13.9.1

Es sei $u = 2 y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 13.9.1.1

Differenziere $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Schritt 13.9.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 13.9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 13.9.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 13.9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 13.10

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 13.11

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Schritt 13.12

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Schritt 13.13

Vereinfache.

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Schritt 13.14

Ersetze alle $u$ durch $2 y$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C$

Schritt 13.15

Vereinfache.

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Schritt 13.15.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (2 y)$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C$

Schritt 13.15.2

Wende das Distributivgesetz an.

$g (y) = - \frac{1}{2} y - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

Schritt 13.15.3

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - \frac{y}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

Schritt 13.15.4

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}$ .

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Schritt 13.15.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (2 y)}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 13.15.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$g (y) = - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

Schritt 13.16

Vereinfache.

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Schritt 13.16.1

Stelle die Terme um.

$g (y) = - (\frac{1}{2} y) - (\frac{1}{4} \sin (2 y)) + C$

Schritt 13.16.2

Entferne die Klammern.

$g (y) = - \frac{1}{2} y - (\frac{1}{4} \sin (2 y)) + C$

Schritt 13.16.3

Entferne die Klammern.

$g (y) = - \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = \cos^{2} (y) x + g (y)$ ein.

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$

Schritt 15

Vereinfache $f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$ .

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{y}{2} - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$

Schritt 15.1.2

Kombiniere $\sin (2 y)$ und $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

Schritt 15.2

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$ um.

$f (x, y) = x \cos^{2} (y) - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$