Analysis Beispiele

$\frac{d r}{d t} = \frac{\sec^{2} (t)}{\tan (t) + 1}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d r = \frac{\sec^{2} (t)}{\tan (t) + 1} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d r = \int \frac{\sec^{2} (t)}{\tan (t) + 1} d t$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$r + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (t)}{\tan (t) + 1} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Sei $u = \tan (t) + 1$ . Dann ist $d u = \sec^{2} (t) d t$ , folglich $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = \tan (t) + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $\tan (t) + 1$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (t) + 1]$

Schritt 2.3.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\tan (t) + 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [\tan (t)] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (t)] + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 2.3.1.1.3

Die Ableitung von $\tan (t)$ nach $t$ ist $\sec^{2} (t)$ .

$\sec^{2} (t) + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 2.3.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\sec^{2} (t) + 0$

Schritt 2.3.1.1.4.2

Addiere $\sec^{2} (t)$ und $0$ .

$\sec^{2} (t)$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$r + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$r + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $\tan (t) + 1$ .

$r + C_{1} = \ln (| \tan (t) + 1 |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$r = \ln (| \tan (t) + 1 |) + C$