Analysis Beispiele

$(4 + x^{2}) d y + 4 d x = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $4 d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(4 + x^{2}) d y = - 4 d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{4 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{4 + x^{2}} (4 + x^{2}) d y = \frac{1}{4 + x^{2}} \cdot - 4 d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 + x^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4 + x^{2}} (4 + x^{2}) d y = \frac{1}{4 + x^{2}} \cdot - 4 d x$

Schritt 3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 d y = \frac{1}{4 + x^{2}} \cdot - 4 d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{4 + x^{2}}$ und $- 4$ .

$1 d y = \frac{- 4}{4 + x^{2}} d x$

Schritt 3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 d y = - \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int - \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int - \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - \int \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

Schritt 4.3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - (4 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x)$

Schritt 4.3.3

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 4.3.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Schritt 4.3.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 4.3.4

Das Integral von $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2})$

Schritt 4.3.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$y + C_{1} = - 4 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$

Schritt 4.3.5.2

Schreibe $- 4 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$ als $- 4 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Schritt 4.3.5.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.5.3.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 4}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Schritt 4.3.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 4.3.5.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Schritt 4.3.5.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.5.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Schritt 4.3.5.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Schritt 4.3.5.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = \frac{- 2}{1} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Schritt 4.3.5.3.2.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$y + C_{1} = - 2 \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Schritt 4.3.5.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$y + C_{1} = - 2 \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$

Schritt 4.3.5.4

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = - 2 \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = - 2 \arctan (\frac{1}{2} x) + K$