Analysis Beispiele

$\frac{d x}{d y} + (\frac{4}{y + 1}) x = \frac{y}{y + 1}$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (y) d y}$ , wobei $P (y) = \frac{4}{y + 1}$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{4}{y + 1} d y}$

Schritt 1.2

Integriere $\frac{4}{y + 1}$ .

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Schritt 1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$e^{4 \int \frac{1}{y + 1} d y}$

Schritt 1.2.2

Sei $u = y + 1$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.2.2.1

Es sei $u = y + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Differenziere $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Schritt 1.2.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.2.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.2.2.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.2.2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{4 \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 1.2.3

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$e^{4 (\ln (| u |) + C)}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache.

$e^{4 \ln (| u |) + C}$

Schritt 1.2.5

Ersetze alle $u$ durch $y + 1$ .

$e^{4 \ln (| y + 1 |) + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{4 \ln (y + 1)}$

Schritt 1.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln ({(y + 1)}^{4})}$

Schritt 1.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

${(y + 1)}^{4}$

Schritt 1.6

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$y^{4} + 4 y^{3} \cdot 1 + 6 y^{2} \cdot 1^{2} + 4 y \cdot 1^{3} + 1^{4}$

Schritt 1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} \cdot 1^{2} + 4 y \cdot 1^{3} + 1^{4}$

Schritt 1.7.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} \cdot 1 + 4 y \cdot 1^{3} + 1^{4}$

Schritt 1.7.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y \cdot 1^{3} + 1^{4}$

Schritt 1.7.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y \cdot 1 + 1^{4}$

Schritt 1.7.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1^{4}$

Schritt 1.7.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ .

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{d x}{d y} + (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) ((\frac{4}{y + 1}) x) = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + 1 \frac{d x}{d y} + (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) ((\frac{4}{y + 1}) x) = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $\frac{d x}{d y}$ mit $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) ((\frac{4}{y + 1}) x) = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $\frac{4}{y + 1}$ und $x$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{4 x}{y + 1} = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ mit $\frac{4 x}{y + 1}$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + \frac{(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) (4 x)}{y + 1} = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Schritt 2.2.5

Faktorisiere $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ mithilfe des Binomischen Lehrsatzes.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + \frac{{(y + 1)}^{4} \cdot 4 x}{y + 1} = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Schritt 2.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(y + 1)}^{4}$ und $y + 1$ .

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Schritt 2.2.6.1

Faktorisiere $y + 1$ aus ${(y + 1)}^{4} \cdot 4 x$ heraus.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + \frac{(y + 1) ({(y + 1)}^{3} \cdot 4 x)}{y + 1} = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Schritt 2.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.6.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + \frac{(y + 1) ({(y + 1)}^{3} \cdot 4 x)}{(y + 1) \cdot 1} = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Schritt 2.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 2.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + \frac{{(y + 1)}^{3} \cdot 4 x}{1} = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Schritt 2.2.6.2.4

Dividiere ${(y + 1)}^{3} \cdot 4 x$ durch $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + {(y + 1)}^{3} \cdot 4 x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Schritt 2.2.7

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (y^{3} + 3 y^{2} \cdot 1 + 3 y \cdot 1^{2} + 1^{3}) \cdot 4 x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Schritt 2.2.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.8.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y \cdot 1^{2} + 1^{3}) \cdot 4 x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Schritt 2.2.8.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y \cdot 1 + 1^{3}) \cdot 4 x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Schritt 2.2.8.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y + 1^{3}) \cdot 4 x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Schritt 2.2.8.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y + 1) \cdot 4 x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Schritt 2.2.9

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (y^{3} \cdot 4 + 3 y^{2} \cdot 4 + 3 y \cdot 4 + 1 \cdot 4) x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Schritt 2.2.10

Vereinfache.

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Schritt 2.2.10.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $y^{3}$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (4 \cdot y^{3} + 3 y^{2} \cdot 4 + 3 y \cdot 4 + 1 \cdot 4) x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Schritt 2.2.10.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (4 \cdot y^{3} + 12 y^{2} + 3 y \cdot 4 + 1 \cdot 4) x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Schritt 2.2.10.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (4 \cdot y^{3} + 12 y^{2} + 12 y + 1 \cdot 4) x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Schritt 2.2.10.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + (4 \cdot y^{3} + 12 y^{2} + 12 y + 4) x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Schritt 2.2.11

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = (y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) \frac{y}{y + 1}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ mit $\frac{y}{y + 1}$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = \frac{(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) y}{y + 1}$

Schritt 2.4

Faktorisiere $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ mithilfe des Binomischen Lehrsatzes.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = \frac{{(y + 1)}^{4} y}{y + 1}$

Schritt 2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(y + 1)}^{4}$ und $y + 1$ .

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $y + 1$ aus ${(y + 1)}^{4} y$ heraus.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = \frac{(y + 1) ({(y + 1)}^{3} y)}{y + 1}$

Schritt 2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = \frac{(y + 1) ({(y + 1)}^{3} y)}{(y + 1) \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = \frac{{(y + 1)}^{3} y}{1}$

Schritt 2.5.2.4

Dividiere ${(y + 1)}^{3} y$ durch $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = {(y + 1)}^{3} y$

Schritt 2.6

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = (y^{3} + 3 y^{2} \cdot 1 + 3 y \cdot 1^{2} + 1^{3}) y$

Schritt 2.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y \cdot 1^{2} + 1^{3}) y$

Schritt 2.7.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y \cdot 1 + 1^{3}) y$

Schritt 2.7.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y + 1^{3}) y$

Schritt 2.7.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = (y^{3} + 3 y^{2} + 3 y + 1) y$

Schritt 2.8

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{3} y + 3 y^{2} y + 3 y \cdot y + 1 y$

Schritt 2.9

Vereinfache.

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Schritt 2.9.1

Multipliziere $y^{3}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.9.1.1

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $y$ .

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Schritt 2.9.1.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{3} y^{1} + 3 y^{2} y + 3 y \cdot y + 1 y$

Schritt 2.9.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{3 + 1} + 3 y^{2} y + 3 y \cdot y + 1 y$

Schritt 2.9.1.2

Addiere $3$ und $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{4} + 3 y^{2} y + 3 y \cdot y + 1 y$

Schritt 2.9.2

Multipliziere $y^{2}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.9.2.1

Bewege $y$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{4} + 3 (y \cdot y^{2}) + 3 y \cdot y + 1 y$

Schritt 2.9.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

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Schritt 2.9.2.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{4} + 3 (y^{1} y^{2}) + 3 y \cdot y + 1 y$

Schritt 2.9.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{4} + 3 y^{1 + 2} + 3 y \cdot y + 1 y$

Schritt 2.9.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{4} + 3 y^{3} + 3 y \cdot y + 1 y$

Schritt 2.9.3

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.9.3.1

Bewege $y$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{4} + 3 y^{3} + 3 (y \cdot y) + 1 y$

Schritt 2.9.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{4} + 3 y^{3} + 3 y^{2} + 1 y$

Schritt 2.9.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y^{4} \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} \frac{d x}{d y} + 6 y^{2} \frac{d x}{d y} + 4 y \frac{d x}{d y} + \frac{d x}{d y} + 4 y^{3} x + 12 y^{2} x + 12 y x + 4 x = y^{4} + 3 y^{3} + 3 y^{2} + y$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d y} [(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x] = y^{4} + 3 y^{3} + 3 y^{2} + y$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d y} [(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x] d y = \int y^{4} + 3 y^{3} + 3 y^{2} + y d y$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \int y^{4} + 3 y^{3} + 3 y^{2} + y d y$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \int y^{4} d y + \int 3 y^{3} d y + \int 3 y^{2} d y + \int y d y$

Schritt 6.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{4}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + C + \int 3 y^{3} d y + \int 3 y^{2} d y + \int y d y$

Schritt 6.3

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + C + 3 \int y^{3} d y + \int 3 y^{2} d y + \int y d y$

Schritt 6.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{3}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + C + 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C) + \int 3 y^{2} d y + \int y d y$

Schritt 6.5

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + C + 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 3 \int y^{2} d y + \int y d y$

Schritt 6.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + C + 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int y d y$

Schritt 6.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + C + 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 6.8

Vereinfache.

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Schritt 6.8.1

Vereinfache.

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Schritt 6.8.1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $y^{4}$ .

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + C + 3 (\frac{y^{4}}{4} + C) + 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 6.8.1.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + C + 3 (\frac{y^{4}}{4} + C) + 3 (\frac{y^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 6.8.2

Vereinfache.

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{y^{5}}{5} + \frac{3 y^{4}}{4} + y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 6.8.3

Stelle die Terme um.

$(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + \frac{3}{4} y^{4} + y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + \frac{3}{4} y^{4} + y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C$ durch $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x = \frac{1}{5} y^{5} + \frac{3}{4} y^{4} + y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C$ durch $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ .

$\frac{(y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1) x}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} = \frac{\frac{1}{5} y^{5}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{3}{4} y^{4}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{1}{5} y^{5}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{3}{4} y^{4}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $y^{5}$ .

$x = \frac{\frac{y^{5}}{5}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{3}{4} y^{4}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Schritt 7.3.1.2

Faktorisiere $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ mithilfe des Binomischen Lehrsatzes.

$x = \frac{\frac{y^{5}}{5}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{\frac{3}{4} y^{4}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Schritt 7.3.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{y^{5}}{5} \cdot \frac{1}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{\frac{3}{4} y^{4}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Schritt 7.3.1.4

Kombinieren.

$x = \frac{y^{5} \cdot 1}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{\frac{3}{4} y^{4}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Schritt 7.3.1.5

Mutltipliziere $y^{5}$ mit $1$ .

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{\frac{3}{4} y^{4}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Schritt 7.3.1.6

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $y^{4}$ .

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{\frac{3 y^{4}}{4}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Schritt 7.3.1.7

Faktorisiere $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ mithilfe des Binomischen Lehrsatzes.

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{\frac{3 y^{4}}{4}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Schritt 7.3.1.8

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4}}{4} \cdot \frac{1}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Schritt 7.3.1.9

Kombinieren.

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4} \cdot 1}{4 {(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Schritt 7.3.1.10

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4}}{4 {(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Schritt 7.3.1.11

Faktorisiere $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ mithilfe des Binomischen Lehrsatzes.

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4}}{4 {(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{\frac{1}{2} y^{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Schritt 7.3.1.12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4}}{4 {(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{\frac{y^{2}}{2}}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Schritt 7.3.1.13

Faktorisiere $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ mithilfe des Binomischen Lehrsatzes.

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4}}{4 {(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{\frac{y^{2}}{2}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Schritt 7.3.1.14

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4}}{4 {(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{1}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Schritt 7.3.1.15

Kombinieren.

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4}}{4 {(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{2} \cdot 1}{2 {(y + 1)}^{4}} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Schritt 7.3.1.16

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4}}{4 {(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{2}}{2 {(y + 1)}^{4}} + \frac{C}{y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1}$

Schritt 7.3.1.17

Faktorisiere $y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1$ mithilfe des Binomischen Lehrsatzes.

$x = \frac{y^{5}}{5 {(y + 1)}^{4}} + \frac{3 y^{4}}{4 {(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{3}}{{(y + 1)}^{4}} + \frac{y^{2}}{2 {(y + 1)}^{4}} + \frac{C}{{(y + 1)}^{4}}$