Analysis Beispiele

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - \frac{3}{x^{4}}$

Schritt 1

Integriere beide Seiten nach $x$ .

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Schritt 1.1

Die erste Ableitung ist gleich dem Integral der zweiten Ableitung nach $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{d y}{d x} = - \int \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 1.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$\frac{d y}{d x} = - (3 \int \frac{1}{x^{4}} d x)$

Schritt 1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = - 3 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

Schritt 1.4.2

Bringe $x^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = - 3 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

Schritt 1.4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 3 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

Schritt 1.4.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = - 3 \int x^{- 4} d x$

Schritt 1.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C_{1})$

Schritt 1.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1.1

Kombiniere $x^{- 3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C_{1})$

Schritt 1.6.1.2

Bringe $x^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{1})$

Schritt 1.6.2

Vereinfache.

$\frac{d y}{d x} = - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C_{1}$

Schritt 1.6.3

Vereinfache.

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Schritt 1.6.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \frac{1}{3 x^{3}} + C_{1}$

Schritt 1.6.3.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{3 x^{3}} + C_{1}$

Schritt 1.6.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.6.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{3 x^{3}} + C_{1}$

Schritt 1.6.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{3}} + C_{1}$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (\frac{1}{x^{3}} + C_{1}) d x$

Schritt 3

Integriere beide Seiten.

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Schritt 3.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{1}{x^{3}} + C_{1} d x$

Schritt 3.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{x^{3}} + C_{1} d x$

Schritt 3.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.3.2.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$y + C_{2} = \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{2} = \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y + C_{2} = \int x^{- 3} d x + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$y + C_{2} = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{3} + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{2} = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{3} + C_{1} x + C_{4}$

Schritt 3.3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.3.5.1

Vereinfache.

$y + C_{2} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Schritt 3.3.5.2

Vereinfache.

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Schritt 3.3.5.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{2} = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + C_{1} x + C_{5}$

Schritt 3.3.5.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$y + C_{2} = - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Schritt 3.3.6

Stelle die Terme um.

$y + C_{2} = C_{1} x - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{5}$

Schritt 3.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $D$ zusammen.

$y = C x - \frac{1}{2 x^{2}} + D$