Analysis Beispiele

$x y^{3} d x + (x^{2} y^{2} + 1) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x y^{3}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{3}]$

Schritt 1.2

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x y^{3}$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (3 y^{2})$

Schritt 1.4

Stelle um.

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Schritt 1.4.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 \cdot x y^{2}$

Schritt 1.4.2

Stelle die Faktoren von $3 x y^{2}$ um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} x$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x^{2} y^{2} + 1$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2} + 1]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} y^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x^{2} y^{2}$ nach $x$ gleich $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{2} x + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $2 y^{2} x$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{2} x$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $3 y^{2} x$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 y^{2} x$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$3 y^{2} x = 2 y^{2} x$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$3 y^{2} x = 2 y^{2} x$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $2 y^{2} x$ .

$\frac{2 y^{2} x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $3 y^{2} x$ .

$\frac{2 y^{2} x - (3 y^{2} x)}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $x y^{3}$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $x y^{3}$ .

$\frac{2 y^{2} x - (3 y^{2} x)}{x y^{3}}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $y^{2} x$ aus $2 y^{2} x - 1 \cdot 3 y^{2} x$ heraus.

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Schritt 4.3.2.1.1

Faktorisiere $y^{2} x$ aus $2 y^{2} x$ heraus.

$\frac{y^{2} x (2) - 1 \cdot 3 y^{2} x}{x y^{3}}$

Schritt 4.3.2.1.2

Faktorisiere $y^{2} x$ aus $- 1 \cdot 3 y^{2} x$ heraus.

$\frac{y^{2} x (2) + y^{2} x (- 1 \cdot 3)}{x y^{3}}$

Schritt 4.3.2.1.3

Faktorisiere $y^{2} x$ aus $y^{2} x (2) + y^{2} x (- 1 \cdot 3)$ heraus.

$\frac{y^{2} x (2 - 1 \cdot 3)}{x y^{3}}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{y^{2} x (2 - 3)}{x y^{3}}$

Schritt 4.3.2.3

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{y^{2} x \cdot - 1}{x y^{3}}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y^{3}$ .

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} x \cdot - 1$ heraus.

$\frac{y^{2} (x \cdot - 1)}{x y^{3}}$

Schritt 4.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.3.2.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $x y^{3}$ heraus.

$\frac{y^{2} (x \cdot - 1)}{y^{2} (x y)}$

Schritt 4.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} (x \cdot - 1)}{y^{2} (x y)}$

Schritt 4.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \cdot - 1}{x y}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot - 1}{x y}$

Schritt 4.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{y}$

Schritt 4.3.5

Ersetze $M$ durch $x y^{3}$ .

$- \frac{1}{y}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Schritt 5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache $- \ln (| y |)$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Schritt 5.4.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Schritt 5.4.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $x y^{3} d x + (x^{2} y^{2} + 1) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{y}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $x y^{3}$ mit $\frac{1}{y}$ .

$x y^{3} \frac{1}{y} d x + (x^{2} y^{2} + 1) d y = 0$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x y^{3}$ heraus.

$y (x y^{2}) \frac{1}{y} d x + (x^{2} y^{2} + 1) d y = 0$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y (x y^{2}) \frac{1}{y} d x + (x^{2} y^{2} + 1) d y = 0$

Schritt 6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x y^{2} d x + (x^{2} y^{2} + 1) d y = 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $x^{2} y^{2} + 1$ mit $\frac{1}{y}$ .

$x y^{2} d x + (x^{2} y^{2} + 1) \frac{1}{y} d y = 0$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $x^{2} y^{2} + 1$ mit $\frac{1}{y}$ .

$x y^{2} d x + \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x y^{2} d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = x y^{2}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $y^{2}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = y^{2} \int x d x$

Schritt 8.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 8.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.3.1

Schreibe $y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$ um.

$f (x, y) = y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 8.3.2

Vereinfache.

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Schritt 8.3.2.1

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{2} + C$

Schritt 8.3.2.2

Kombiniere $\frac{y^{2}}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

Schritt 8.3.3

Stelle die Terme um.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

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Schritt 11.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

Schritt 11.3.2

Kombiniere $\frac{y^{2}}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

Schritt 11.3.3

Da $\frac{x^{2}}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ nach $y$ gleich $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

Schritt 11.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

Schritt 11.3.5

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

Schritt 11.3.6

Kombiniere $\frac{2 x^{2}}{2}$ und $y$ .

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

Schritt 11.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

Schritt 11.3.7.2

Dividiere $x^{2} y$ durch $1$ .

$x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$x^{2} y + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

Schritt 11.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1

Subtrahiere $x^{2} y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y} - x^{2} y$

Schritt 12.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.2.1

Zerlege den Bruch $\frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$ in zwei Brüche.

$\frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} y^{2}}{y} + \frac{1}{y} - x^{2} y$

Schritt 12.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 12.1.2.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x^{2} y^{2}$ heraus.

$\frac{d g}{d y} = \frac{y (x^{2} y)}{y} + \frac{1}{y} - x^{2} y$

Schritt 12.1.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.1.2.2.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y (x^{2} y)}{y^{1}} + \frac{1}{y} - x^{2} y$

Schritt 12.1.2.2.2.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$\frac{d g}{d y} = \frac{y (x^{2} y)}{y \cdot 1} + \frac{1}{y} - x^{2} y$

Schritt 12.1.2.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d y} = \frac{y (x^{2} y)}{y \cdot 1} + \frac{1}{y} - x^{2} y$

Schritt 12.1.2.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} y}{1} + \frac{1}{y} - x^{2} y$

Schritt 12.1.2.2.2.5

Dividiere $x^{2} y$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + \frac{1}{y} - x^{2} y$

Schritt 12.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} y + \frac{1}{y} - x^{2} y$ .

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Schritt 12.1.3.1

Subtrahiere $x^{2} y$ von $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y} + 0$

Schritt 12.1.3.2

Addiere $\frac{1}{y}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $\frac{1}{y}$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 13.3

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$g (y) = \ln (| y |) + C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \ln (| y |) + C$

Schritt 15

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{2} + \ln (| y |) + C$

Schritt 15.2

Kombiniere $\frac{y^{2}}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \ln (| y |) + C$