Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} + \frac{y}{t} = 3 t$ , $y (2) = 8$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d t} + M (t) y = Q (t)$ um.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $y$ aus $\frac{y}{t}$ heraus.

$\frac{d y}{d t} + y \frac{1}{t} = 3 t$

Schritt 1.2

Stelle $y$ und $\frac{1}{t}$ um.

$\frac{d y}{d t} + \frac{1}{t} y = 3 t$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (t) d t}$ , wobei $P (t) = \frac{1}{t}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{1}{t} d t}$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{t}$ nach $t$ ist $\ln (| t |)$ .

$e^{\ln (| t |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\ln (t)}$

Schritt 2.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$t$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $t$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $t$ .

$t \frac{d y}{d t} + t (\frac{1}{t} y) = t (3 t)$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{t}$ und $y$ .

$t \frac{d y}{d t} + t \frac{y}{t} = t (3 t)$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$t \frac{d y}{d t} + t \frac{y}{t} = t (3 t)$

Schritt 3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$t \frac{d y}{d t} + y = t (3 t)$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$t \frac{d y}{d t} + y = 3 t \cdot t$

Schritt 3.4

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1

Bewege $t$ .

$t \frac{d y}{d t} + y = 3 (t \cdot t)$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$t \frac{d y}{d t} + y = 3 t^{2}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d t} [t y] = 3 t^{2}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d t} [t y] d t = \int 3 t^{2} d t$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$t y = \int 3 t^{2} d t$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$t y = 3 \int t^{2} d t$

Schritt 7.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{2}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$t y = 3 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$

Schritt 7.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.3.1

Schreibe $3 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$ als $3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C$ um.

$t y = 3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C$

Schritt 7.3.2

Vereinfache.

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Schritt 7.3.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$t y = \frac{3}{3} t^{3} + C$

Schritt 7.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$t y = \frac{3}{3} t^{3} + C$

Schritt 7.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$t y = 1 t^{3} + C$

Schritt 7.3.2.3

Mutltipliziere $t^{3}$ mit $1$ .

$t y = t^{3} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $t y = t^{3} + C$ durch $t$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $t y = t^{3} + C$ durch $t$ .

$\frac{t y}{t} = \frac{t^{3}}{t} + \frac{C}{t}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t y}{t} = \frac{t^{3}}{t} + \frac{C}{t}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{t^{3}}{t} + \frac{C}{t}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $t^{3}$ und $t$ .

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Schritt 8.3.1.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{3}$ heraus.

$y = \frac{t \cdot t^{2}}{t} + \frac{C}{t}$

Schritt 8.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.1.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$y = \frac{t \cdot t^{2}}{t^{1}} + \frac{C}{t}$

Schritt 8.3.1.2.2

Faktorisiere $t$ aus $t^{1}$ heraus.

$y = \frac{t \cdot t^{2}}{t \cdot 1} + \frac{C}{t}$

Schritt 8.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{t \cdot t^{2}}{t \cdot 1} + \frac{C}{t}$

Schritt 8.3.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{t^{2}}{1} + \frac{C}{t}$

Schritt 8.3.1.2.5

Dividiere $t^{2}$ durch $1$ .

$y = t^{2} + \frac{C}{t}$

Schritt 9

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $2$ für $t$ und $8$ für $y$ in $y = t^{2} + \frac{C}{t}$ ersetzt wird.

$8 = 2^{2} + \frac{C}{2}$

Schritt 10

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 10.1

Schreibe die Gleichung als $2^{2} + \frac{C}{2} = 8$ um.

$2^{2} + \frac{C}{2} = 8$

Schritt 10.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 + \frac{C}{2} = 8$

Schritt 10.3

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.3.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{C}{2} = 8 - 4$

Schritt 10.3.2

Subtrahiere $4$ von $8$ .

$\frac{C}{2} = 4$

Schritt 10.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{C}{2} = 2 \cdot 4$

Schritt 10.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 10.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{C}{2} = 2 \cdot 4$

Schritt 10.5.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$C = 2 \cdot 4$

Schritt 10.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$C = 8$

Schritt 11

Setze $8$ für $C$ in $y = t^{2} + \frac{C}{t}$ ein und vereinfache.

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Schritt 11.1

Ersetze $C$ durch $8$ .

$y = t^{2} + \frac{8}{t}$