Analysis Beispiele

$\frac{y}{x} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = \frac{y}{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Schritt 1.2

Da $\frac{1}{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y}{x}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = y^{3} - \ln (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3} - \ln (x)]$

Schritt 2.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{3} - \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 2.2.2

Da $y^{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{3}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{1}{x}$

Schritt 2.4

Subtrahiere $\frac{1}{x}$ von $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{1}{x}$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze $\frac{1}{x}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- \frac{1}{x}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$\frac{1}{x} = - \frac{1}{x}$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$\frac{1}{x} = - \frac{1}{x}$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $\frac{y}{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{y}{x}}$

Schritt 4.3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}) \frac{x}{y}$

Schritt 4.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 - 1}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Schritt 4.3.4

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Schritt 4.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Schritt 4.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$- 2 \frac{1}{y}$

Schritt 4.3.6

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{y}$ .

$\frac{- 2}{y}$

Schritt 4.3.7

Ersetze $M$ durch $\frac{y}{x}$ .

$- \frac{2}{y}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Schritt 5.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5.4

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Schritt 5.6

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1

Vereinfache $- 2 \ln (| y |)$ , indem du $- 2$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Schritt 5.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Schritt 5.6.3

Entferne den Absolutwert in ${| y |}^{- 2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Schritt 5.6.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $\frac{y}{x} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{y^{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{y}{x}$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Schritt 6.2

Kombinieren.

$\frac{y \cdot 1}{x y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y$ und $y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 1$ heraus.

$\frac{y (1)}{x y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Schritt 6.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x y^{2}$ heraus.

$\frac{y (1)}{y (x y)} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Schritt 6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \cdot 1}{y (x y)} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Schritt 6.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x y} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $y^{3} - \ln (x)$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{x y} d x + (y^{3} - \ln (x)) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $y^{3} - \ln (x)$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{x y} d x + \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{x y} d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = \frac{1}{x y}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Da $\frac{1}{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{y}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 8.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (\ln (| x |) + C)$

Schritt 8.3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Vereinfache.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \ln (| x |) + C$

Schritt 8.3.2

Kombiniere $\frac{1}{y}$ und $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Schritt 11

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)] = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.1

Forme um.

$\frac{y}{x} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Schritt 12.1.2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = \frac{y}{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Schritt 12.1.2.2

Da $\frac{1}{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y}{x}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 12.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

Schritt 12.1.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Schritt 12.1.3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = y^{3} - \ln (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3} - \ln (x)]$

Schritt 12.1.3.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{3} - \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 12.1.3.2.2

Da $y^{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{3}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 12.1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.3.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 12.1.3.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{1}{x}$

Schritt 12.1.3.4

Subtrahiere $\frac{1}{x}$ von $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{1}{x}$

Schritt 12.1.4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.4.1

Setze $\frac{1}{x}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- \frac{1}{x}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$\frac{1}{x} = - \frac{1}{x}$

Schritt 12.1.4.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$\frac{1}{x} = - \frac{1}{x}$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 12.1.5

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.5.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 12.1.5.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}}{M}$

Schritt 12.1.5.3

Ersetze $M$ durch $\frac{y}{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.5.3.1

Ersetze $M$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{y}{x}}$

Schritt 12.1.5.3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}) \frac{x}{y}$

Schritt 12.1.5.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 - 1}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Schritt 12.1.5.3.4

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Schritt 12.1.5.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.5.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Schritt 12.1.5.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$- 2 \frac{1}{y}$

Schritt 12.1.5.3.6

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{y}$ .

$\frac{- 2}{y}$

Schritt 12.1.5.3.7

Ersetze $M$ durch $\frac{y}{x}$ .

$- \frac{2}{y}$

Schritt 12.1.5.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Schritt 12.1.6

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.6.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Schritt 12.1.6.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Schritt 12.1.6.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 12.1.6.4

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 12.1.6.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Schritt 12.1.6.6

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.6.6.1

Vereinfache $- 2 \ln (| y |)$ , indem du $- 2$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Schritt 12.1.6.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Schritt 12.1.6.6.3

Entferne den Absolutwert in ${| y |}^{- 2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Schritt 12.1.6.6.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Schritt 12.1.7

Multipliziere beide Seiten von $\frac{y}{x} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{y^{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.7.1

Mutltipliziere $\frac{y}{x}$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Schritt 12.1.7.2

Kombinieren.

$\frac{y \cdot 1}{x y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Schritt 12.1.7.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y$ und $y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.7.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 1$ heraus.

$\frac{y (1)}{x y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Schritt 12.1.7.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.7.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x y^{2}$ heraus.

$\frac{y (1)}{y (x y)} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Schritt 12.1.7.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \cdot 1}{y (x y)} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Schritt 12.1.7.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x y} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Schritt 12.1.7.4

Mutltipliziere $y^{3} - \ln (x)$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{x y} d x + (y^{3} - \ln (x)) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 12.1.7.5

Mutltipliziere $y^{3} - \ln (x)$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{x y} d x + \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 12.1.8

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{x y} d x$

Schritt 12.1.9

Integriere $M (x, y) = \frac{1}{x y}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.9.1

Da $\frac{1}{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{y}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 12.1.9.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (\ln (| x |) + C)$

Schritt 12.1.9.3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.9.3.1

Vereinfache.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \ln (| x |) + C$

Schritt 12.1.9.3.2

Kombiniere $\frac{1}{y}$ und $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + C$

Schritt 12.1.10

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)$

Schritt 12.1.11

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Schritt 12.1.12

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.12.1

Vereinfache $\frac{d}{d y} \cdot (\frac{\ln (| x |)}{y} + g (y))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.12.1.1

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.12.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $d$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.12.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d y} \cdot (\frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)) = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Schritt 12.1.12.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \cdot (\frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)) = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Schritt 12.1.12.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{y}$ mit $\frac{\ln (| x |)}{y} + g y$ .

$\frac{\frac{\ln (| x |)}{y} + g y}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Schritt 12.1.12.1.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.12.1.2.1

Um $g y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{\ln (| x |)}{y} + \frac{g y \cdot y}{y}}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Schritt 12.1.12.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{\ln (| x |) + g y \cdot y}{y}}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Schritt 12.1.12.1.2.3

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.12.1.2.3.1

Bewege $y$ .

$\frac{\frac{\ln (| x |) + g (y \cdot y)}{y}}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Schritt 12.1.12.1.2.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y}}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Schritt 12.1.12.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Schritt 12.1.12.1.4

Multipliziere $\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.12.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y}$ mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y \cdot y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Schritt 12.1.12.1.4.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{1} y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Schritt 12.1.12.1.4.3

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{1} y^{1}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Schritt 12.1.12.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{1 + 1}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Schritt 12.1.12.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Schritt 12.1.13

Multipliziere jeden Term in $\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$ mit $y^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.13.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$ mit $y^{2}$ .

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} y^{2} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} y^{2}$

Schritt 12.1.13.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.13.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.13.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} y^{2} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} y^{2}$

Schritt 12.1.13.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| x |) + g y^{2} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} y^{2}$

Schritt 12.1.13.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.13.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.13.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| x |) + g y^{2} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} y^{2}$

Schritt 12.1.13.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| x |) + g y^{2} = y^{3} - \ln (x)$

Schritt 12.1.14

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| x |) + \ln (x) = - g y^{2} + y^{3}$

Schritt 12.1.15

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| x | x) = - g y^{2} + y^{3}$

Schritt 12.1.16

Stelle die Faktoren in $\ln (| x | x)$ um.

$\ln (x | x |) = - g y^{2} + y^{3}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $- g y^{2} + y^{3}$ , um $g (y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\ln (x | x |) = - g y^{2} + y^{3}$ .

$\int \ln (x | x |) d y = \int - g y^{2} + y^{3} d y$

Schritt 13.2

Forme um.

$0 + 0 + g (y) = \int - g y^{2} + y^{3} d y$

Schritt 13.3

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + g (y) = \int - g y^{2} + y^{3} d y$

Schritt 13.4

Berechne $\int \ln (x | x |) d y$ .

$g (y) = \int - g y^{2} + y^{3} d y$

Schritt 13.5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$g (y) = \int - g y^{2} d y + \int y^{3} d y$

Schritt 13.6

Da $- g$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- g$ aus dem Integral.

$g (y) = - g \int y^{2} d y + \int y^{3} d y$

Schritt 13.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - g (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int y^{3} d y$

Schritt 13.8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{3}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = - g (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Schritt 13.9

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$g (y) = - g (\frac{y^{3}}{3} + C) + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Schritt 13.10

Vereinfache.

$g (y) = - \frac{y^{3} g}{3} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Schritt 13.11

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.11.1

Stelle die Terme um.

$g (y) = - (\frac{1}{3} y^{3} g) + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Schritt 13.11.2

Entferne die Klammern.

$g (y) = - (\frac{1}{3} y^{3}) g + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Schritt 13.11.3

Entferne die Klammern.

$g (y) = - \frac{1}{3} y^{3} g + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} - \frac{1}{3} y^{3} g + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Schritt 15

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Kombiniere $y^{3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} - \frac{y^{3}}{3} g + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Schritt 15.2

Kombiniere $g$ und $\frac{y^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} - \frac{g y^{3}}{3} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Schritt 15.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} - \frac{g y^{3}}{3} + \frac{y^{4}}{4} + C$