Analysis Beispiele

$e^{- y} \sin (x) + \frac{d y}{d x} = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $e^{- y} \sin (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} = - e^{- y} \sin (x)$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (- e^{- y} \sin (x))$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \sin (x))$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- y}$ .

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Schritt 1.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{e^{- y}}$ in den Zähler.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{e^{- y}} (e^{- y} \sin (x))$

Schritt 1.3.2.2

Faktorisiere $e^{- y}$ aus $e^{- y} \sin (x)$ heraus.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{e^{- y}} (e^{- y} (\sin (x)))$

Schritt 1.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{e^{- y}} (e^{- y} \sin (x))$

Schritt 1.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = - \sin (x)$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = - \sin (x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int - \sin (x) d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{- y}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int - \sin (x) d x$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int - \sin (x) d x$

Schritt 2.2.1.2.1.2

Multipliziere $- y \cdot - 1$ .

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Schritt 2.2.1.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int - \sin (x) d x$

Schritt 2.2.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int - \sin (x) d x$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $e^{y}$ mit $1$ .

$\int e^{y} d y = \int - \sin (x) d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $e^{y}$ nach $y$ ist $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int - \sin (x) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{y} + C_{1} = - \int \sin (x) d x$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$e^{y} + C_{1} = - (- \cos (x) + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache.

$e^{y} + C_{1} = - - \cos (x) + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{y} + C_{1} = 1 \cos (x) + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$e^{y} + C_{1} = \cos (x) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$e^{y} = \cos (x) + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{y}) = \ln (\cos (x) + K)$

Schritt 3.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.2.1

Zerlege $\ln (e^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (e) = \ln (\cos (x) + K)$

Schritt 3.2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\cos (x) + K)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = \ln (\cos (x) + K)$