Analysis Beispiele

$(6 x^{2} y^{2} - 4 y^{4}) d x + (2 x^{3} y - 4 x y^{3}) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 6 x^{2} y^{2} - 4 y^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x^{2} y^{2} - 4 y^{4}]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x^{2} y^{2} - 4 y^{4}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [6 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 4 y^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 4 y^{4}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [6 x^{2} y^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Da $6 x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{2} y^{2}$ nach $y$ gleich $6 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 4 y^{4}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [- 4 y^{4}]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y + \frac{d}{d y} [- 4 y^{4}]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d y} [- 4 y^{4}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 4 y^{4}$ nach $y$ gleich $- 4 \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y - 4 \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y - 4 (4 y^{3})$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y - 16 y^{3}$

Schritt 1.5

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 16 y^{3} + 12 x^{2} y$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 2 x^{3} y - 4 x y^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{3} y - 4 x y^{3}]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} y - 4 x y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{3} y]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3} y$ nach $x$ gleich $2 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Da $- 4 y^{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x y^{3}$ nach $x$ gleich $- 4 y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y x^{2} - 4 y^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y x^{2} - 4 y^{3} \cdot 1$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y x^{2} - 4 y^{3}$

Schritt 2.5

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 y^{3} + 6 x^{2} y$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze $- 16 y^{3} + 12 x^{2} y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 4 y^{3} + 6 x^{2} y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 16 y^{3} + 12 x^{2} y = - 4 y^{3} + 6 x^{2} y$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$- 16 y^{3} + 12 x^{2} y = - 4 y^{3} + 6 x^{2} y$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $- 16 y^{3} + 12 x^{2} y$ .

$\frac{- 16 y^{3} + 12 x^{2} y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $- 4 y^{3} + 6 x^{2} y$ .

$\frac{- 16 y^{3} + 12 x^{2} y - (- 4 y^{3} + 6 x^{2} y)}{N}$

Schritt 4.3

Ersetze $N$ durch $2 x^{3} y - 4 x y^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Ersetze $N$ durch $2 x^{3} y - 4 x y^{3}$ .

$\frac{- 16 y^{3} + 12 x^{2} y - (- 4 y^{3} + 6 x^{2} y)}{2 x^{3} y - 4 x y^{3}}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 16 y^{3} + 12 x^{2} y - (- 4 y^{3}) - (6 x^{2} y)}{2 x^{3} y - 4 x y^{3}}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{- 16 y^{3} + 12 x^{2} y + 4 y^{3} - (6 x^{2} y)}{2 x^{3} y - 4 x y^{3}}$

Schritt 4.3.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\frac{- 16 y^{3} + 12 x^{2} y + 4 y^{3} - 6 (x^{2} y)}{2 x^{3} y - 4 x y^{3}}$

Schritt 4.3.2.4

Addiere $- 16 y^{3}$ und $4 y^{3}$ .

$\frac{- 12 y^{3} + 12 x^{2} y - 6 x^{2} y}{2 x^{3} y - 4 x y^{3}}$

Schritt 4.3.2.5

Subtrahiere $6 x^{2} y$ von $12 x^{2} y$ .

$\frac{- 12 y^{3} + 6 x^{2} y}{2 x^{3} y - 4 x y^{3}}$

Schritt 4.3.2.6

Faktorisiere $6 y$ aus $- 12 y^{3} + 6 x^{2} y$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.6.1

Faktorisiere $6 y$ aus $- 12 y^{3}$ heraus.

$\frac{6 y (- 2 y^{2}) + 6 x^{2} y}{2 x^{3} y - 4 x y^{3}}$

Schritt 4.3.2.6.2

Faktorisiere $6 y$ aus $6 x^{2} y$ heraus.

$\frac{6 y (- 2 y^{2}) + 6 y (x^{2})}{2 x^{3} y - 4 x y^{3}}$

Schritt 4.3.2.6.3

Faktorisiere $6 y$ aus $6 y (- 2 y^{2}) + 6 y (x^{2})$ heraus.

$\frac{6 y (- 2 y^{2} + x^{2})}{2 x^{3} y - 4 x y^{3}}$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $2 x y$ aus $2 x^{3} y - 4 x y^{3}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $2 x y$ aus $2 x^{3} y$ heraus.

$\frac{6 y (- 2 y^{2} + x^{2})}{2 x y (x^{2}) - 4 x y^{3}}$

Schritt 4.3.3.2

Faktorisiere $2 x y$ aus $- 4 x y^{3}$ heraus.

$\frac{6 y (- 2 y^{2} + x^{2})}{2 x y (x^{2}) + 2 x y (- 2 y^{2})}$

Schritt 4.3.3.3

Faktorisiere $2 x y$ aus $2 x y (x^{2}) + 2 x y (- 2 y^{2})$ heraus.

$\frac{6 y (- 2 y^{2} + x^{2})}{2 x y (x^{2} - 2 y^{2})}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6 y (- 2 y^{2} + x^{2})$ heraus.

$\frac{2 (3 y (- 2 y^{2} + x^{2}))}{2 x y (x^{2} - 2 y^{2})}$

Schritt 4.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x y (x^{2} - 2 y^{2})$ heraus.

$\frac{2 (3 y (- 2 y^{2} + x^{2}))}{2 (x y (x^{2} - 2 y^{2}))}$

Schritt 4.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 y (- 2 y^{2} + x^{2}))}{2 (x y (x^{2} - 2 y^{2}))}$

Schritt 4.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 y (- 2 y^{2} + x^{2})}{x y (x^{2} - 2 y^{2})}$

Schritt 4.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y (- 2 y^{2} + x^{2})}{x y (x^{2} - 2 y^{2})}$

Schritt 4.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 (- 2 y^{2} + x^{2})}{x (x^{2} - 2 y^{2})}$

Schritt 4.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2 y^{2} + x^{2}$ und $x^{2} - 2 y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.6.1

Stelle die Terme um.

$\frac{3 (x^{2} - 2 y^{2})}{x (x^{2} - 2 y^{2})}$

Schritt 4.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (x^{2} - 2 y^{2})}{x (x^{2} - 2 y^{2})}$

Schritt 4.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{x}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{3}{x} d x}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int \frac{3}{x} d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 5.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{3 \ln (| x |)} + C$

Schritt 5.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Vereinfache $3 \ln (| x |)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{3})} + C$

Schritt 5.4.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| x |}^{3} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(6 x^{2} y^{2} - 4 y^{4}) d x + (2 x^{3} y - 4 x y^{3}) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $x^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Mutltipliziere $6 x^{2} y^{2} - 4 y^{4}$ mit $x^{3}$ .

$(6 x^{2} y^{2} - 4 y^{4}) x^{3} d x + (2 x^{3} y - 4 x y^{3}) d y = 0$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(6 x^{2} y^{2} x^{3} - 4 y^{4} x^{3}) d x + (2 x^{3} y - 4 x y^{3}) d y = 0$

Schritt 6.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Bewege $x^{3}$ .

$(6 (x^{3} x^{2}) y^{2} - 4 y^{4} x^{3}) d x + (2 x^{3} y - 4 x y^{3}) d y = 0$

Schritt 6.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(6 x^{3 + 2} y^{2} - 4 y^{4} x^{3}) d x + (2 x^{3} y - 4 x y^{3}) d y = 0$

Schritt 6.3.3

Addiere $3$ und $2$ .

$(6 x^{5} y^{2} - 4 y^{4} x^{3}) d x + (2 x^{3} y - 4 x y^{3}) d y = 0$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $2 x^{3} y - 4 x y^{3}$ mit $x^{3}$ .

$(6 x^{5} y^{2} - 4 y^{4} x^{3}) d x + (2 x^{3} y - 4 x y^{3}) x^{3} d y = 0$

Schritt 6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$(6 x^{5} y^{2} - 4 y^{4} x^{3}) d x + (2 x^{3} y x^{3} - 4 x y^{3} x^{3}) d y = 0$

Schritt 6.6

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.1

Bewege $x^{3}$ .

$(6 x^{5} y^{2} - 4 y^{4} x^{3}) d x + (2 (x^{3} x^{3}) y - 4 x y^{3} x^{3}) d y = 0$

Schritt 6.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(6 x^{5} y^{2} - 4 y^{4} x^{3}) d x + (2 x^{3 + 3} y - 4 x y^{3} x^{3}) d y = 0$

Schritt 6.6.3

Addiere $3$ und $3$ .

$(6 x^{5} y^{2} - 4 y^{4} x^{3}) d x + (2 x^{6} y - 4 x y^{3} x^{3}) d y = 0$

Schritt 6.7

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.1

Bewege $x^{3}$ .

$(6 x^{5} y^{2} - 4 y^{4} x^{3}) d x + (2 x^{6} y - 4 (x^{3} x) y^{3}) d y = 0$

Schritt 6.7.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(6 x^{5} y^{2} - 4 y^{4} x^{3}) d x + (2 x^{6} y - 4 (x^{3} x^{1}) y^{3}) d y = 0$

Schritt 6.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(6 x^{5} y^{2} - 4 y^{4} x^{3}) d x + (2 x^{6} y - 4 x^{3 + 1} y^{3}) d y = 0$

Schritt 6.7.3

Addiere $3$ und $1$ .

$(6 x^{5} y^{2} - 4 y^{4} x^{3}) d x + (2 x^{6} y - 4 x^{4} y^{3}) d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 6 x^{5} y^{2} - 4 y^{4} x^{3} d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = 6 x^{5} y^{2} - 4 y^{4} x^{3}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int 6 x^{5} y^{2} d x + \int - 4 y^{4} x^{3} d x$

Schritt 8.2

Da $6 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6 y^{2}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 6 y^{2} \int x^{5} d x + \int - 4 y^{4} x^{3} d x$

Schritt 8.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$f (x, y) = 6 y^{2} (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int - 4 y^{4} x^{3} d x$

Schritt 8.4

Da $- 4 y^{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4 y^{4}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 6 y^{2} (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 4 y^{4} \int x^{3} d x$

Schritt 8.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = 6 y^{2} (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 4 y^{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Schritt 8.6

Vereinfache.

$f (x, y) = 6 \cdot \frac{1}{6} y^{2} x^{6} - 4 y^{4} (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Schritt 8.7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.7.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{6}$ .

$f (x, y) = \frac{6}{6} y^{2} x^{6} - 4 y^{4} (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Schritt 8.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \frac{6}{6} y^{2} x^{6} - 4 y^{4} (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Schritt 8.7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = 1 y^{2} x^{6} - 4 y^{4} (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Schritt 8.7.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$f (x, y) = y^{2} x^{6} - 4 y^{4} (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Schritt 8.7.4

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$f (x, y) = y^{2} x^{6} - 4 y^{4} \frac{x^{4}}{4} + C$

Schritt 8.7.5

Kombiniere $- 4$ und $\frac{x^{4}}{4}$ .

$f (x, y) = y^{2} x^{6} + y^{4} \frac{- 4 x^{4}}{4} + C$

Schritt 8.7.6

Kombiniere $y^{4}$ und $\frac{- 4 x^{4}}{4}$ .

$f (x, y) = y^{2} x^{6} + \frac{y^{4} (- 4 x^{4})}{4} + C$

Schritt 8.7.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.7.7.1

Faktorisiere $4$ aus $y^{4} (- 4 x^{4})$ heraus.

$f (x, y) = y^{2} x^{6} + \frac{4 (y^{4} (- x^{4}))}{4} + C$

Schritt 8.7.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.7.7.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$f (x, y) = y^{2} x^{6} + \frac{4 (y^{4} (- x^{4}))}{4 (1)} + C$

Schritt 8.7.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = y^{2} x^{6} + \frac{4 (y^{4} (- x^{4}))}{4 \cdot 1} + C$

Schritt 8.7.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = y^{2} x^{6} + \frac{y^{4} (- x^{4})}{1} + C$

Schritt 8.7.7.2.4

Dividiere $y^{4} (- x^{4})$ durch $1$ .

$f (x, y) = y^{2} x^{6} + y^{4} (- x^{4}) + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = y^{2} x^{6} + y^{4} (- x^{4}) + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{6} y - 4 x^{4} y^{3}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} x^{6} + y^{4} (- x^{4}) + g (y)] = 2 x^{6} y - 4 x^{4} y^{3}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} x^{6} + y^{4} (- x^{4}) + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{2} x^{6}] + \frac{d}{d y} [y^{4} (- x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} x^{6}] + \frac{d}{d y} [y^{4} (- x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{6} y - 4 x^{4} y^{3}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y^{2} x^{6}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.1

Da $x^{6}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y^{2} x^{6}$ nach $y$ gleich $x^{6} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x^{6} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{4} (- x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{6} y - 4 x^{4} y^{3}$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{6} (2 y) + \frac{d}{d y} [y^{4} (- x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{6} y - 4 x^{4} y^{3}$

Schritt 11.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{6}$ .

$2 x^{6} y + \frac{d}{d y} [y^{4} (- x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{6} y - 4 x^{4} y^{3}$

Schritt 11.4

Berechne $\frac{d}{d y} [y^{4} (- x^{4})]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.4.1

Da $- x^{4}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y^{4} (- x^{4})$ nach $y$ gleich $- x^{4} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$2 x^{6} y - x^{4} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{6} y - 4 x^{4} y^{3}$

Schritt 11.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$2 x^{6} y - x^{4} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{6} y - 4 x^{4} y^{3}$

Schritt 11.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$2 x^{6} y - 4 x^{4} y^{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{6} y - 4 x^{4} y^{3}$

Schritt 11.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$2 x^{6} y - 4 x^{4} y^{3} + \frac{d g}{d y} = 2 x^{6} y - 4 x^{4} y^{3}$

Schritt 11.6

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{6} y - 4 x^{4} y^{3} = 2 x^{6} y - 4 x^{4} y^{3}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.1

Subtrahiere $2 x^{6} y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} - 4 x^{4} y^{3} = 2 x^{6} y - 4 x^{4} y^{3} - 2 x^{6} y$

Schritt 12.1.2

Addiere $4 x^{4} y^{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = 2 x^{6} y - 4 x^{4} y^{3} - 2 x^{6} y + 4 x^{4} y^{3}$

Schritt 12.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{6} y - 4 x^{4} y^{3} - 2 x^{6} y + 4 x^{4} y^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.3.1

Subtrahiere $2 x^{6} y$ von $2 x^{6} y$ .

$\frac{d g}{d y} = - 4 x^{4} y^{3} + 0 + 4 x^{4} y^{3}$

Schritt 12.1.3.2

Addiere $- 4 x^{4} y^{3}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 4 x^{4} y^{3} + 4 x^{4} y^{3}$

Schritt 12.1.3.3

Addiere $- 4 x^{4} y^{3}$ und $4 x^{4} y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $0$ , um $g (y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Schritt 13.3

Das Integral von $0$ nach $y$ ist $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Schritt 13.4

Addiere $0$ und $C$ .

$g (y) = C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = y^{2} x^{6} + y^{4} (- x^{4}) + g (y)$ ein.

$f (x, y) = y^{2} x^{6} + y^{4} (- x^{4}) + C$

Schritt 15

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (x, y) = y^{2} x^{6} - y^{4} x^{4} + C$