Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \sec (y) \tan (x)$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\sec (y)}$ .

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec (y)} (\sec (y) \tan (x))$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec (y)$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $\sec (y)$ aus $\sec (y) \tan (x)$ heraus.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec (y)} (\sec (y) (\tan (x)))$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec (y)} (\sec (y) \tan (x))$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = \tan (x)$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\sec (y)} d y = \tan (x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\sec (y)} d y = \int \tan (x) d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1

Schreibe $\sec (y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}} d y = \int \tan (x) d x$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (y)}$ zu dividieren.

$\int 1 \cos (y) d y = \int \tan (x) d x$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $\cos (y)$ mit $1$ .

$\int \cos (y) d y = \int \tan (x) d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\cos (y)$ nach $y$ ist $\sin (y)$ .

$\sin (y) + C_{1} = \int \tan (x) d x$

Schritt 2.3

Das Integral von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\sin (y) + C_{1} = \ln (| \sec (x) |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\sin (y) = \ln (| \sec (x) |) + C$

Schritt 3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$y = \arcsin (\ln (| \sec (x) |) + C)$