Analysis Beispiele

$- \frac{y^{2}}{t^{2}} d t + \frac{2 y}{t} d y = 0$

Schritt 1

Addiere $\frac{y^{2}}{t^{2}} d t$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{2 y}{t} d y = \frac{y^{2}}{t^{2}} d t$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{t}{y^{2}}$ .

$\frac{t}{y^{2}} \cdot \frac{2 y}{t} d y = \frac{t}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{t^{2}} d t$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombinieren.

$\frac{t (2 y)}{y^{2} t} d y = \frac{t}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{t^{2}} d t$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t (2 y)}{y^{2} t} d y = \frac{t}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{t^{2}} d t$

Schritt 3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 y}{y^{2}} d y = \frac{t}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{t^{2}} d t$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y$ und $y^{2}$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{y \cdot 2}{y^{2}} d y = \frac{t}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{t^{2}} d t$

Schritt 3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$\frac{y \cdot 2}{y \cdot y} d y = \frac{t}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{t^{2}} d t$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \cdot 2}{y \cdot y} d y = \frac{t}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{t^{2}} d t$

Schritt 3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{y} d y = \frac{t}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{t^{2}} d t$

Schritt 3.4

Kombinieren.

$\frac{2}{y} d y = \frac{t y^{2}}{y^{2} t^{2}} d t$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $t$ und $t^{2}$ .

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $t$ aus $t y^{2}$ heraus.

$\frac{2}{y} d y = \frac{t (y^{2})}{y^{2} t^{2}} d t$

Schritt 3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $t$ aus $y^{2} t^{2}$ heraus.

$\frac{2}{y} d y = \frac{t (y^{2})}{t (y^{2} t)} d t$

Schritt 3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{y} d y = \frac{t y^{2}}{t (y^{2} t)} d t$

Schritt 3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{y} d y = \frac{y^{2}}{y^{2} t} d t$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{y} d y = \frac{y^{2}}{y^{2} t} d t$

Schritt 3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{y} d y = \frac{1}{t} d t$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{2}{y} d y = \int \frac{1}{t} d t$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{t} d t$

Schritt 4.2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{1}{t} d t$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{t} d t$

Schritt 4.3

Das Integral von $\frac{1}{t}$ nach $t$ ist $\ln (| t |)$ .

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \ln (| t |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$2 \ln (| y |) = \ln (| t |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$2 \ln (| y |) - \ln (| t |) = C$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $2 \ln (| y |) - \ln (| t |)$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (| y |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({| y |}^{2}) - \ln (| t |) = C$

Schritt 5.2.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| y |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln (y^{2}) - \ln (| t |) = C$

Schritt 5.2.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{y^{2}}{| t |}) = C$

Schritt 5.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{y^{2}}{| t |})} = e^{C}$

Schritt 5.4

Schreibe $\ln (\frac{y^{2}}{| t |}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{y^{2}}{| t |}$

Schritt 5.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y^{2}}{| t |} = e^{C}$ um.

$\frac{y^{2}}{| t |} = e^{C}$

Schritt 5.5.2

Multipliziere beide Seiten mit $| t |$ .

$\frac{y^{2}}{| t |} | t | = e^{C} | t |$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| t |$ .

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Schritt 5.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2}}{| t |} | t | = e^{C} | t |$

Schritt 5.5.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = e^{C} | t |$

Schritt 5.5.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.5.4.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{e^{C} | t |}$

Schritt 5.5.4.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.5.4.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{e^{C} | t |}$

Schritt 5.5.4.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{e^{C} | t |}$

Schritt 5.5.4.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{e^{C} | t |}$

$y = - \sqrt{e^{C} | t |}$

$y = \sqrt{e^{C} | t |}$

$y = - \sqrt{e^{C} | t |}$

$y = \sqrt{e^{C} | t |}$

$y = - \sqrt{e^{C} | t |}$

$y = \sqrt{e^{C} | t |}$

$y = - \sqrt{e^{C} | t |}$

$y = \sqrt{e^{C} | t |}$

$y = - \sqrt{e^{C} | t |}$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt{C | t |}$

$y = - \sqrt{C | t |}$