Analysis Beispiele

$x y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{y + 1}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{y + 1}$ durch $x y$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $x y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{y + 1}$ durch $x y$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{\frac{x^{2} + 1}{y + 1}}{x y}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{\frac{x^{2} + 1}{y + 1}}{x y}$

Schritt 1.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{\frac{x^{2} + 1}{y + 1}}{x y}$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{\frac{x^{2} + 1}{y + 1}}{x y}$

Schritt 1.1.2.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{x^{2} + 1}{y + 1}}{x y}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{y + 1} \cdot \frac{1}{x y}$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{x^{2} + 1}{y + 1}$ mit $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{(y + 1) (x y)}$

Schritt 1.1.3.3

Stelle die Faktoren in $\frac{x^{2} + 1}{(y + 1) x y}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x y (y + 1)}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y (y + 1)}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $y (y + 1)$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = y (y + 1) (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y (y + 1)})$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = (y \cdot y + y \cdot 1) (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y (y + 1)})$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + y \cdot 1) (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y (y + 1)})$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + y) (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y (y + 1)})$

Schritt 1.4.4

Mutltipliziere $\frac{x^{2} + 1}{x}$ mit $\frac{1}{y (y + 1)}$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + y) \frac{x^{2} + 1}{x (y (y + 1))}$

Schritt 1.4.5

Mutltipliziere $y^{2} + y$ mit $\frac{x^{2} + 1}{x y (y + 1)}$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{2} + y) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

Schritt 1.4.6

Faktorisiere $y$ aus $y^{2} + y$ heraus.

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Schritt 1.4.6.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot y + y) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

Schritt 1.4.6.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot y + y^{1}) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

Schritt 1.4.6.3

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot y + y \cdot 1) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

Schritt 1.4.6.4

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot y + y \cdot 1$ heraus.

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{y (y + 1) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

Schritt 1.4.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.4.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{y (y + 1) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

Schritt 1.4.7.2

Forme den Ausdruck um.

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (x^{2} + 1)}{x (y + 1)}$

Schritt 1.4.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 1$ .

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Schritt 1.4.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (x^{2} + 1)}{x (y + 1)}$

Schritt 1.4.8.2

Forme den Ausdruck um.

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$y (y + 1) d y = \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y (y + 1) d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere $y (y + 1)$ .

$\int y \cdot y + y \cdot 1 d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\int y^{1} y + y \cdot 1 d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Schritt 2.2.2.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\int y^{1} y^{1} + y \cdot 1 d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Schritt 2.2.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int y^{1 + 1} + y \cdot 1 d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Schritt 2.2.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\int y^{2} + y \cdot 1 d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Schritt 2.2.2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\int y^{2} + y d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Schritt 2.2.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int y^{2} d y + \int y d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Schritt 2.2.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int y d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Schritt 2.2.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x^{2}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 2.3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x \cdot x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x}{1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.3.2.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.5

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5}$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{6}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$