Analysis Beispiele

$e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2}) d x + e^{x^{3}} d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})]$

Schritt 1.2

Da $e^{x^{3}}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$ nach $y$ gleich $e^{x^{3}} \frac{d}{d y} [3 x^{2} y - x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} \frac{d}{d y} [3 x^{2} y - x^{2}]$

Schritt 1.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} y - x^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

Schritt 1.4

Da $3 x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2} y$ nach $y$ gleich $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

Schritt 1.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

Schritt 1.7

Da $- x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} + 0)$

Schritt 1.8

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2})$

Schritt 1.9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.9.1

Stelle die Faktoren von $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x^{3}} x^{2}$

Schritt 1.9.2

Stelle die Faktoren in $3 e^{x^{3}} x^{2}$ um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = e^{x^{3}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x^{3}} (3 x^{2})$

Schritt 2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Stelle die Faktoren von $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{x^{3}} x^{2}$

Schritt 2.4.2

Stelle die Faktoren in $3 e^{x^{3}} x^{2}$ um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze $3 x^{2} e^{x^{3}}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $3 x^{2} e^{x^{3}}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$3 x^{2} e^{x^{3}} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$3 x^{2} e^{x^{3}} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{x^{3}} d y$

Schritt 5

Integriere $N (x, y) = e^{x^{3}}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = e^{x^{3}} y + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = e^{x^{3}} y + g (x)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y + g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x^{3}} y + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $e^{x^{3}} y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$ .

$y \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Schritt 8.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Schritt 8.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Schritt 8.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$y (e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Schritt 8.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$y e^{x^{3}} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$y e^{x^{3}} (3 x^{2}) + \frac{d g}{d x} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Schritt 8.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.1

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + 3 e^{x^{3}} x^{2} y = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Schritt 8.5.2

Stelle die Faktoren in $\frac{d g}{d x} + 3 e^{x^{3}} x^{2} y$ um.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Vereinfache $e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1.1

Forme um.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 0 + 0 + e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Schritt 9.1.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Schritt 9.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y) + e^{x^{3}} (- x^{2})$

Schritt 9.1.1.4

Stelle um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) + e^{x^{3}} (- x^{2})$

Schritt 9.1.1.4.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) - e^{x^{3}} x^{2}$

Schritt 9.1.1.4.3

Stelle die Faktoren in $3 e^{x^{3}} (x^{2} y) - e^{x^{3}} x^{2}$ um.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 3 x^{2} y e^{x^{3}} - x^{2} e^{x^{3}}$

Schritt 9.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.2.1

Subtrahiere $3 x^{2} y e^{x^{3}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y e^{x^{3}} - x^{2} e^{x^{3}} - 3 x^{2} y e^{x^{3}}$

Schritt 9.1.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x^{2} y e^{x^{3}} - x^{2} e^{x^{3}} - 3 x^{2} y e^{x^{3}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.2.2.1

Subtrahiere $3 x^{2} y e^{x^{3}}$ von $3 x^{2} y e^{x^{3}}$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{2} e^{x^{3}} + 0$

Schritt 9.1.2.2.2

Addiere $- x^{2} e^{x^{3}}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{2} e^{x^{3}}$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $- x^{2} e^{x^{3}}$ , um $g (x)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = - x^{2} e^{x^{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x^{2} e^{x^{3}} d x$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x^{2} e^{x^{3}} d x$

Schritt 10.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (x) = - \int x^{2} e^{x^{3}} d x$

Schritt 10.4

Sei $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Dann ist $d u_{2} = 3 x^{2} e^{x^{3}} d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{x^{3}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.4.1

Es sei $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.4.1.1

Differenziere $e^{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

Schritt 10.4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.4.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 10.4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 10.4.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{3}$ .

$e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 10.4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$

Schritt 10.4.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.4.1.4.1

Stelle die Faktoren von $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ um.

$3 e^{x^{3}} x^{2}$

Schritt 10.4.1.4.2

Stelle die Faktoren in $3 e^{x^{3}} x^{2}$ um.

$3 x^{2} e^{x^{3}}$

Schritt 10.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$g (x) = - \int \frac{1}{3} d u_{2}$

Schritt 10.5

Wende die Konstantenregel an.

$g (x) = - (\frac{1}{3} u_{2} + C)$

Schritt 10.6

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.6.1

Schreibe $- (\frac{1}{3} u_{2} + C)$ als $- \frac{1}{3} u_{2} + C$ um.

$g (x) = - \frac{1}{3} u_{2} + C$

Schritt 10.6.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $e^{x^{3}}$ .

$g (x) = - \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

Schritt 11

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = e^{x^{3}} y + g (x)$ ein.

$f (x, y) = e^{x^{3}} y - \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

Schritt 12

Vereinfache $f (x, y) = e^{x^{3}} y - \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Kombiniere $e^{x^{3}}$ und $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = e^{x^{3}} y - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

Schritt 12.2

Subtrahiere $\frac{e^{x^{3}}}{3}$ von $e^{x^{3}} y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1

Stelle $e^{x^{3}}$ und $y$ um.

$f (x, y) = y e^{x^{3}} - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

Schritt 12.2.2

Um $y e^{x^{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = y e^{x^{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

Schritt 12.2.3

Kombiniere $y e^{x^{3}}$ und $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{x^{3}} \cdot 3}{3} - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

Schritt 12.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x, y) = \frac{y e^{x^{3}} \cdot 3 - e^{x^{3}}}{3} + C$

Schritt 12.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y e^{x^{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 \cdot (y e^{x^{3}}) - e^{x^{3}}}{3} + C$

Schritt 12.3.2

Faktorisiere $e^{x^{3}}$ aus $3 y e^{x^{3}} - e^{x^{3}}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.2.1

Faktorisiere $e^{x^{3}}$ aus $3 y e^{x^{3}}$ heraus.

$f (x, y) = \frac{e^{x^{3}} (3 y) - e^{x^{3}}}{3} + C$

Schritt 12.3.2.2

Faktorisiere $e^{x^{3}}$ aus $- e^{x^{3}}$ heraus.

$f (x, y) = \frac{e^{x^{3}} (3 y) + e^{x^{3}} \cdot - 1}{3} + C$

Schritt 12.3.2.3

Faktorisiere $e^{x^{3}}$ aus $e^{x^{3}} (3 y) + e^{x^{3}} \cdot - 1$ heraus.

$f (x, y) = \frac{e^{x^{3}} (3 y - 1)}{3} + C$