Analysis Beispiele

$\sqrt{x} d y = \sqrt{y} d x$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\sqrt{x y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{x} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{x y}}$ mit $\frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{x y}} \cdot \frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x y}} \sqrt{x} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Schritt 2.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{x y}}$ mit $\frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x y}}$ .

$\frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x y} \sqrt{x y}} \sqrt{x} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Schritt 2.2.2

Potenziere $\sqrt{x y}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{1} \sqrt{x y}} \sqrt{x} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Schritt 2.2.3

Potenziere $\sqrt{x y}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{1} {\sqrt{x y}}^{1}} \sqrt{x} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Schritt 2.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{1 + 1}} \sqrt{x} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Schritt 2.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{2}} \sqrt{x} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Schritt 2.2.6

Schreibe ${\sqrt{x y}}^{2}$ als $x y$ um.

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Schritt 2.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x y}$ als ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{x y}}{{({(x y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sqrt{x} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Schritt 2.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{x y}}{{(x y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sqrt{x} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Schritt 2.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{x y}}{{(x y)}^{\frac{2}{2}}} \sqrt{x} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Schritt 2.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{x y}}{{(x y)}^{\frac{2}{2}}} \sqrt{x} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Schritt 2.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{x y}}{{(x y)}^{1}} \sqrt{x} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Schritt 2.2.6.5

Vereinfache.

$\frac{\sqrt{x y}}{x y} \sqrt{x} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Schritt 2.3

Multipliziere $\frac{\sqrt{x y}}{x y} \sqrt{x}$ .

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Schritt 2.3.1

Kombiniere $\frac{\sqrt{x y}}{x y}$ und $\sqrt{x}$ .

$\frac{\sqrt{x y} \sqrt{x}}{x y} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Schritt 2.3.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{x y x}}{x y} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Schritt 2.3.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{x^{1} x y}}{x y} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Schritt 2.3.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{x^{1} x^{1} y}}{x y} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Schritt 2.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{x^{1 + 1} y}}{x y} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Schritt 2.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{x^{2} y}}{x y} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Schritt 2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{x \sqrt{y}}{x y} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Schritt 2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \sqrt{y}}{x y} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Schritt 2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{x y}}$ mit $\frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x y}}$ .

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \cdot \frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Schritt 2.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{x y}}$ mit $\frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x y}}$ .

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x y} \sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Schritt 2.7.2

Potenziere $\sqrt{x y}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{1} \sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Schritt 2.7.3

Potenziere $\sqrt{x y}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{1} {\sqrt{x y}}^{1}} \sqrt{y} d x$

Schritt 2.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{1 + 1}} \sqrt{y} d x$

Schritt 2.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{2}} \sqrt{y} d x$

Schritt 2.7.6

Schreibe ${\sqrt{x y}}^{2}$ als $x y$ um.

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Schritt 2.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x y}$ als ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y}}{{({(x y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sqrt{y} d x$

Schritt 2.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y}}{{(x y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sqrt{y} d x$

Schritt 2.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y}}{{(x y)}^{\frac{2}{2}}} \sqrt{y} d x$

Schritt 2.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y}}{{(x y)}^{\frac{2}{2}}} \sqrt{y} d x$

Schritt 2.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y}}{{(x y)}^{1}} \sqrt{y} d x$

Schritt 2.7.6.5

Vereinfache.

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y}}{x y} \sqrt{y} d x$

Schritt 2.8

Multipliziere $\frac{\sqrt{x y}}{x y} \sqrt{y}$ .

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Schritt 2.8.1

Kombiniere $\frac{\sqrt{x y}}{x y}$ und $\sqrt{y}$ .

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y} \sqrt{y}}{x y} d x$

Schritt 2.8.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y \cdot y}}{x y} d x$

Schritt 2.8.3

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x (y^{1} y)}}{x y} d x$

Schritt 2.8.4

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x (y^{1} y^{1})}}{x y} d x$

Schritt 2.8.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y^{1 + 1}}}{x y} d x$

Schritt 2.8.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y^{2}}}{x y} d x$

Schritt 2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.9.1

Stelle $x$ und $y^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{y^{2} x}}{x y} d x$

Schritt 2.9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{y \sqrt{x}}{x y} d x$

Schritt 2.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{y \sqrt{x}}{x y} d x$

Schritt 2.10.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 3

Integriere beide Seiten.

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Schritt 3.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{\sqrt{y}}{y} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 3.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{y^{\frac{1}{2}}}{y} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 3.2.1.2

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

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Schritt 3.2.1.2.1

Bringe $y^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{1}{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 3.2.1.2.2

Multipliziere $y$ mit $y^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.2.2.1

Mutltipliziere $y$ mit $y^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.2.1.2.2.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 3.2.1.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{1}{y^{1 - \frac{1}{2}}} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 3.2.1.2.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{1}{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 3.2.1.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{1}{y^{\frac{2 - 1}{2}}} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 3.2.1.2.2.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 3.2.1.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.2.1.3.1

Bringe $y^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 3.2.1.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.1.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 3.2.1.3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 3.2.1.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 3.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- \frac{1}{2}}$ nach $y$ gleich $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 3.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Schritt 3.3.1.2

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

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Schritt 3.3.1.2.1

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 3.3.1.2.2

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.3.1.2.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 3.3.1.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 3.3.1.2.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 3.3.1.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Schritt 3.3.1.2.2.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 3.3.1.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.3.1.3.1

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 3.3.1.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.3.1.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 3.3.1.3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 3.3.1.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 3.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$2 y^{\frac{1}{2}} = 2 x^{\frac{1}{2}} + K$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{\frac{1}{2}} = 2 x^{\frac{1}{2}} + K$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{\frac{1}{2}} = 2 x^{\frac{1}{2}} + K$ durch $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 4.1.2.2

Dividiere $y^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 4.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 4.1.3.1.2

Dividiere $x^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2}$

Schritt 4.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.1.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 4.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 4.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 4.3.1.1.2

Vereinfache.

$y = {(x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Schreibe ${(x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2})}^{2}$ als $(x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2}) (x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2})$ um.

$y = (x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2}) (x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2})$

Schritt 4.3.2.1.2

Multipliziere $(x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2}) (x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2})$

Schritt 4.3.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2})$

Schritt 4.3.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 4.3.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.3.1.1

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.2.1.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 4.3.2.1.3.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = x^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 4.3.2.1.3.1.1.3

Addiere $1$ und $1$ .

$y = x^{\frac{2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 4.3.2.1.3.1.1.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$y = x^{1} + x^{\frac{1}{2}} \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 4.3.2.1.3.1.2

Vereinfache $x^{1}$ .

$y = x + x^{\frac{1}{2}} \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 4.3.2.1.3.1.3

Kombiniere $x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{K}{2}$ .

$y = x + \frac{x^{\frac{1}{2}} K}{2} + \frac{K}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 4.3.2.1.3.1.4

Kombiniere $\frac{K}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x + \frac{x^{\frac{1}{2}} K}{2} + \frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 4.3.2.1.3.1.5

Multipliziere $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

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Schritt 4.3.2.1.3.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{K}{2}$ mit $\frac{K}{2}$ .

$y = x + \frac{x^{\frac{1}{2}} K}{2} + \frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.3.2.1.3.1.5.2

Potenziere $K$ mit $1$ .

$y = x + \frac{x^{\frac{1}{2}} K}{2} + \frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.3.2.1.3.1.5.3

Potenziere $K$ mit $1$ .

$y = x + \frac{x^{\frac{1}{2}} K}{2} + \frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.3.2.1.3.1.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = x + \frac{x^{\frac{1}{2}} K}{2} + \frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.3.2.1.3.1.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = x + \frac{x^{\frac{1}{2}} K}{2} + \frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.3.2.1.3.1.5.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = x + \frac{x^{\frac{1}{2}} K}{2} + \frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Schritt 4.3.2.1.3.2

Addiere $\frac{x^{\frac{1}{2}} K}{2}$ und $\frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

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Schritt 4.3.2.1.3.2.1

Stelle $x^{\frac{1}{2}}$ und $K$ um.

$y = x + \frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Schritt 4.3.2.1.3.2.2

Addiere $\frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2}$ und $\frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$y = x + 2 \frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Schritt 4.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = x + 2 \frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Schritt 4.3.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = x + K x^{\frac{1}{2}} + \frac{K^{2}}{4}$

Schritt 4.4

Vereinfache $x + K x^{\frac{1}{2}} + \frac{K^{2}}{4}$ .

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Schritt 4.4.1

Bewege $K x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x + \frac{K^{2}}{4} + K x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.4.2

Stelle $x$ und $\frac{K^{2}}{4}$ um.

$y = \frac{K^{2}}{4} + x + K x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = K + x + K x^{\frac{1}{2}}$