Analysis Beispiele

$2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}}) d x + (x^{2} + 3 y^{2} + e^{- x^{2}}) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})]$

Schritt 1.2

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$ nach $y$ gleich $2 x \frac{d}{d y} [3 x + y - y e^{- x^{2}}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [3 x + y - y e^{- x^{2}}]$

Schritt 1.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + y - y e^{- x^{2}}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y e^{- x^{2}}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y e^{- x^{2}}])$

Schritt 1.4

Da $3 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (0 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y e^{- x^{2}}])$

Schritt 1.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y e^{- x^{2}}])$

Schritt 1.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (1 + \frac{d}{d y} [- y e^{- x^{2}}])$

Schritt 1.7

Da $- e^{- x^{2}}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y e^{- x^{2}}$ nach $y$ gleich $- e^{- x^{2}} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (1 - e^{- x^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 1.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (1 - e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Schritt 1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (1 - e^{- x^{2}})$

Schritt 1.10

Vereinfache.

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Schritt 1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + 2 x (- e^{- x^{2}})$

Schritt 1.10.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.10.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2 x (- e^{- x^{2}})$

Schritt 1.10.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 2 x e^{- x^{2}}$

Schritt 1.10.3

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 e^{- x^{2}} x + 2 x$

Schritt 1.10.4

Stelle die Faktoren in $- 2 e^{- x^{2}} x + 2 x$ um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x e^{- x^{2}} + 2 x$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x^{2} + 3 y^{2} + e^{- x^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2} + e^{- x^{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 3 y^{2} + e^{- x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Schritt 2.2.3

Da $3 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0 + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0 + e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $- x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0 + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0 + e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0 + e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0 + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Schritt 2.4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 e^{- x^{2}} x + 2 x$

Schritt 2.4.3

Stelle die Faktoren in $- 2 e^{- x^{2}} x + 2 x$ um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x e^{- x^{2}} + 2 x$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $- 2 x e^{- x^{2}} + 2 x$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 2 x e^{- x^{2}} + 2 x$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 2 x e^{- x^{2}} + 2 x = - 2 x e^{- x^{2}} + 2 x$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$- 2 x e^{- x^{2}} + 2 x = - 2 x e^{- x^{2}} + 2 x$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} + 3 y^{2} + e^{- x^{2}} d y$

Schritt 5

Integriere $N (x, y) = x^{2} + 3 y^{2} + e^{- x^{2}}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int x^{2} d y + \int 3 y^{2} d y + \int e^{- x^{2}} d y$

Schritt 5.2

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = x^{2} y + C + \int 3 y^{2} d y + \int e^{- x^{2}} d y$

Schritt 5.3

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$f (x, y) = x^{2} y + C + 3 \int y^{2} d y + \int e^{- x^{2}} d y$

Schritt 5.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = x^{2} y + C + 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int e^{- x^{2}} d y$

Schritt 5.5

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = x^{2} y + C + 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + e^{- x^{2}} y + C$

Schritt 5.6

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$f (x, y) = x^{2} y + C + 3 (\frac{y^{3}}{3} + C) + e^{- x^{2}} y + C$

Schritt 5.7

Vereinfache.

$f (x, y) = x^{2} y + y^{3} + e^{- x^{2}} y + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = x^{2} y + y^{3} + e^{- x^{2}} y + g (x)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y + y^{3} + e^{- x^{2}} y + g (x)] = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} y + y^{3} + e^{- x^{2}} y + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x^{2} y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Schritt 8.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Schritt 8.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$2 y x + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Schritt 8.4

Da $y^{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{3}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 y x + 0 + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Schritt 8.5

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y]$ .

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Schritt 8.5.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $e^{- x^{2}} y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ .

$2 y x + 0 + y \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Schritt 8.5.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x^{2}$ .

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Schritt 8.5.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x^{2}$ .

$2 y x + 0 + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Schritt 8.5.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2 y x + 0 + y (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Schritt 8.5.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x^{2}$ .

$2 y x + 0 + y (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Schritt 8.5.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 y x + 0 + y (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Schritt 8.5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 y x + 0 + y (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Schritt 8.5.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 y x + 0 + y e^{- x^{2}} (- 2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Schritt 8.6

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$2 y x + 0 + y e^{- x^{2}} (- 2 x) + \frac{d g}{d x} = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Schritt 8.7

Vereinfache.

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Schritt 8.7.1

Addiere $2 y x$ und $0$ .

$2 y x + y e^{- x^{2}} (- 2 x) + \frac{d g}{d x} = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Schritt 8.7.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y - 2 e^{- x^{2}} x y = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Schritt 8.7.3

Stelle die Faktoren in $\frac{d g}{d x} + 2 x y - 2 e^{- x^{2}} x y$ um.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}} = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1.1

Vereinfache $2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$ .

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Schritt 9.1.1.1

Forme um.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}} = 0 + 0 + 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Schritt 9.1.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}} = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Schritt 9.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}} = 2 x (3 x) + 2 x y + 2 x (- y e^{- x^{2}})$

Schritt 9.1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 9.1.1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}} = 2 \cdot 3 x \cdot x + 2 x y + 2 x (- y e^{- x^{2}})$

Schritt 9.1.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}} = 2 \cdot 3 x \cdot x + 2 x y - 2 x (y e^{- x^{2}})$

Schritt 9.1.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1.5.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.1.1.5.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}} = 2 \cdot 3 (x \cdot x) + 2 x y - 2 x (y e^{- x^{2}})$

Schritt 9.1.1.5.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}} = 2 \cdot 3 x^{2} + 2 x y - 2 x (y e^{- x^{2}})$

Schritt 9.1.1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}} = 6 x^{2} + 2 x y - 2 x (y e^{- x^{2}})$

Schritt 9.1.1.6

Stelle die Faktoren in $6 x^{2} + 2 x y - 2 x (y e^{- x^{2}})$ um.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}} = 6 x^{2} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}}$

Schritt 9.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.2.1

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y e^{- x^{2}} = 6 x^{2} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}} - 2 x y$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $2 x y e^{- x^{2}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = 6 x^{2} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}} - 2 x y + 2 x y e^{- x^{2}}$

Schritt 9.1.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $6 x^{2} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}} - 2 x y + 2 x y e^{- x^{2}}$ .

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Schritt 9.1.2.3.1

Subtrahiere $2 x y$ von $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x^{2} - 2 x y e^{- x^{2}} + 0 + 2 x y e^{- x^{2}}$

Schritt 9.1.2.3.2

Addiere $6 x^{2} - 2 x y e^{- x^{2}}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x^{2} - 2 x y e^{- x^{2}} + 2 x y e^{- x^{2}}$

Schritt 9.1.2.3.3

Addiere $- 2 x y e^{- x^{2}}$ und $2 x y e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x^{2} + 0$

Schritt 9.1.2.3.4

Addiere $6 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x^{2}$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $6 x^{2}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 6 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 x^{2} d x$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 6 x^{2} d x$

Schritt 10.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$g (x) = 6 \int x^{2} d x$

Schritt 10.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Schritt 10.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.5.1

Schreibe $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ als $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ um.

$g (x) = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Schritt 10.5.2

Vereinfache.

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Schritt 10.5.2.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{6}{3} x^{3} + C$

Schritt 10.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 10.5.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$g (x) = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C$

Schritt 10.5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.5.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$g (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C$

Schritt 10.5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C$

Schritt 10.5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$g (x) = \frac{2}{1} x^{3} + C$

Schritt 10.5.2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$g (x) = 2 x^{3} + C$

Schritt 11

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = x^{2} y + y^{3} + e^{- x^{2}} y + g (x)$ ein.

$f (x, y) = x^{2} y + y^{3} + e^{- x^{2}} y + 2 x^{3} + C$

Schritt 12

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = x^{2} y + y^{3} + e^{- x^{2}} y + 2 x^{3} + C$ um.

$f (x, y) = x^{2} y + y^{3} + y e^{- x^{2}} + 2 x^{3} + C$