Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{3}}{3}$ solve $y'''' = x^{2}$

Schritt 1

Ermittle $y'$ .

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3})$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 1.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{3}}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2})$

Schritt 1.3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.3.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2}$

Schritt 1.3.3.2

Kombiniere $\frac{3}{3}$ und $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3}$

Schritt 1.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3}$

Schritt 1.3.3.3.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2}$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = x^{2}$

Schritt 2

Ermittle $y''$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die Ableitung.

$y'' = \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$y'' = 2 x$

Schritt 3

Ermittle $y'''$ .

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Schritt 3.1

Bestimme die Ableitung.

$y''' = \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y''' = 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y''' = 2 \cdot 1$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y''' = 2$

Schritt 4

Ermittle $y''''$ .

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Schritt 4.1

Bestimme die Ableitung.

$y'''' = \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 4.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y'''' = 0$

Schritt 5

Setze in die gegebene Differentialgleich ein.

$0 = x^{2}$

Schritt 6

Die gegebene Lösung erfüllt nicht die gegebene Differentialgleichung.

$y = \frac{x^{3}}{3}$ ist keine Lösung von $y'''' = x^{2}$