Analysis Beispiele

$\frac{y}{x} d x + (y^{2} + \ln (| x |)) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = \frac{y}{x}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Schritt 1.2

Da $\frac{1}{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y}{x}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = y^{2} + \ln (| x |)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + \ln (| x |)]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} + \ln (| x |)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

Schritt 2.2.2

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = | x |$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $| x |$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]$

Schritt 2.3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $| x |$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $| x |$ nach $x$ ist $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |}$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{| x |}$ mit $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x | | x |}$

Schritt 2.3.4

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x \cdot x |}$

Schritt 2.3.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x |}$

Schritt 2.3.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x^{1} |}$

Schritt 2.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1 + 1} |}$

Schritt 2.3.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{2} |}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Addiere $0$ und $\frac{x}{| x^{2} |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{| x^{2} |}$

Schritt 2.4.2

Entferne nicht-negative Terme aus dem Absolutwert.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x^{2}}$

Schritt 2.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 2.4.3.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x^{1}}{x^{2}}$

Schritt 2.4.3.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 2.4.3.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Schritt 2.4.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Schritt 2.4.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $\frac{1}{x}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $\frac{1}{x}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y}{x} d x$

Schritt 5

Integriere $M (x, y) = \frac{y}{x}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $y$ aus dem Integral.

$f (x, y) = y \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 5.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = y (\ln (| x |) + C)$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$f (x, y) = y \ln (| x |) + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = y \ln (| x |) + g (y)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Schritt 8

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [y \ln (| x |) + g (y)] = y^{2} + \ln (| x |)$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 9.1

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 9.1.1

Forme um.

$\frac{y}{x} d x + (y^{2} + \ln (| x |)) d y = 0$

Schritt 9.1.2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = \frac{y}{x}$ .

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Schritt 9.1.2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Schritt 9.1.2.2

Da $\frac{1}{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y}{x}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 9.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

Schritt 9.1.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Schritt 9.1.3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = y^{2} + \ln (| x |)$ .

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Schritt 9.1.3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + \ln (| x |)]$

Schritt 9.1.3.2

Differenziere.

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Schritt 9.1.3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} + \ln (| x |)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

Schritt 9.1.3.2.2

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

Schritt 9.1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

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Schritt 9.1.3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = | x |$ .

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Schritt 9.1.3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $| x |$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]$

Schritt 9.1.3.3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]$

Schritt 9.1.3.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $| x |$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]$

Schritt 9.1.3.3.2

Die Ableitung von $| x |$ nach $x$ ist $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |}$

Schritt 9.1.3.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{| x |}$ mit $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x | | x |}$

Schritt 9.1.3.3.4

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x \cdot x |}$

Schritt 9.1.3.3.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x |}$

Schritt 9.1.3.3.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x^{1} |}$

Schritt 9.1.3.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1 + 1} |}$

Schritt 9.1.3.3.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{2} |}$

Schritt 9.1.3.4

Vereinfache.

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Schritt 9.1.3.4.1

Addiere $0$ und $\frac{x}{| x^{2} |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{| x^{2} |}$

Schritt 9.1.3.4.2

Entferne nicht-negative Terme aus dem Absolutwert.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x^{2}}$

Schritt 9.1.3.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 9.1.3.4.3.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x^{1}}{x^{2}}$

Schritt 9.1.3.4.3.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 9.1.3.4.3.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.3.4.3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Schritt 9.1.3.4.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Schritt 9.1.3.4.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

Schritt 9.1.4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 9.1.4.1

Setze $\frac{1}{x}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $\frac{1}{x}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

Schritt 9.1.4.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 9.1.5

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y}{x} d x$

Schritt 9.1.6

Integriere $M (x, y) = \frac{y}{x}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 9.1.6.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $y$ aus dem Integral.

$f (x, y) = y \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 9.1.6.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = y (\ln (| x |) + C)$

Schritt 9.1.6.3

Vereinfache.

$f (x, y) = y \ln (| x |) + C$

Schritt 9.1.7

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = y \ln (| x |) + g (y)$

Schritt 9.1.8

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Schritt 9.1.9

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.1.9.1

Vereinfache $\frac{d}{d y} \cdot (y \ln (| x |) + g (y))$ .

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Schritt 9.1.9.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $d$ .

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Schritt 9.1.9.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d y} \cdot (y \ln (| x |) + g (y)) = y^{2} + \ln (| x |)$

Schritt 9.1.9.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \cdot (y \ln (| x |) + g (y)) = y^{2} + \ln (| x |)$

Schritt 9.1.9.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{y}$ mit $y \ln (| x |) + g y$ .

$\frac{y \ln (| x |) + g y}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Schritt 9.1.9.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y \ln (| x |) + g y$ heraus.

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Schritt 9.1.9.1.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y \ln (| x |)$ heraus.

$\frac{y \ln (| x |) + g y}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Schritt 9.1.9.1.3.2

Faktorisiere $y$ aus $g y$ heraus.

$\frac{y \ln (| x |) + y g}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Schritt 9.1.9.1.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y \ln (| x |) + y g$ heraus.

$\frac{y (\ln (| x |) + g)}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Schritt 9.1.9.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 9.1.9.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (\ln (| x |) + g)}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Schritt 9.1.9.1.4.2

Dividiere $\ln (| x |) + g$ durch $1$ .

$\ln (| x |) + g = y^{2} + \ln (| x |)$

Schritt 9.1.10

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| x |) - \ln (| x |) = - g + y^{2}$

Schritt 9.1.11

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| x |}{| x |}) = - g + y^{2}$

Schritt 9.1.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| x |$ .

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Schritt 9.1.12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{| x |}{| x |}) = - g + y^{2}$

Schritt 9.1.12.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (1) = - g + y^{2}$

Schritt 9.1.13

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$0 = - g + y^{2}$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $- g + y^{2}$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $0 = - g + y^{2}$ .

$\int 0 d y = \int - g + y^{2} d y$

Schritt 10.2

Berechne $\int 0 d y$ .

$g (y) = \int - g + y^{2} d y$

Schritt 10.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$g (y) = \int - g d y + \int y^{2} d y$

Schritt 10.4

Wende die Konstantenregel an.

$g (y) = - g y + C + \int y^{2} d y$

Schritt 10.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - g y + C + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Schritt 10.6

Vereinfache.

$g (y) = - g y + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Schritt 11

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = y \ln (| x |) + g (y)$ ein.

$f (x, y) = y \ln (| x |) - g y + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Schritt 12

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$f (x, y) = y \ln (| x |) - g y + \frac{y^{3}}{3} + C$