Analysis Beispiele

$\frac{d r}{d θ} = \sin^{4} (π θ)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d r = \sin^{4} (π θ) d θ$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d r = \int \sin^{4} (π θ) d θ$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$r + C_{1} = \int \sin^{4} (π θ) d θ$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u_{1} = π θ$ . Dann ist $d u_{1} = π d θ$ , folglich $\frac{1}{π} d u_{1} = d θ$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u_{1} = π θ$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d θ}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $π θ$ .

$\frac{d}{d θ} [π θ]$

Schritt 2.3.1.1.2

Da $π$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $π θ$ nach $θ$ gleich $π \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$π \frac{d}{d θ} [θ]$

Schritt 2.3.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ gleich $n θ^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Schritt 2.3.1.1.4

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$π$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$r + C_{1} = \int \sin^{4} (u_{1}) \frac{1}{π} d u_{1}$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $\sin^{4} (u_{1})$ und $\frac{1}{π}$ .

$r + C_{1} = \int \frac{\sin^{4} (u_{1})}{π} d u_{1}$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{π}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{π}$ aus dem Integral.

$r + C_{1} = \frac{1}{π} \int \sin^{4} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$r + C_{1} = \frac{1}{π} \int {\sin (u_{1})}^{2 (2)} d u_{1}$

Schritt 2.3.4.2

Schreibe ${\sin (u_{1})}^{2 (2)}$ als Potenz um.

$r + C_{1} = \frac{1}{π} \int {(\sin^{2} (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

Schritt 2.3.5

Benutze die Halbwinkelformel, um $\sin^{2} (u_{1})$ als $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ neu zu schreiben.

$r + C_{1} = \frac{1}{π} \int {(\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Schritt 2.3.6

Sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.6.1

Es sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 2.3.6.1.1

Differenziere $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Schritt 2.3.6.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $2 u_{1}$ nach $u_{1}$ gleich $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 2.3.6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 2.3.6.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 2.3.6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$r + C_{1} = \frac{1}{π} \int {(\frac{1 - \cos (u_{2})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 2.3.7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$r + C_{1} = \frac{1}{π} (\frac{1}{2} \int {(\frac{1 - \cos (u_{2})}{2})}^{2} d u_{2})$

Schritt 2.3.8

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.3.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{π}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int {(\frac{1 - \cos (u_{2})}{2})}^{2} d u_{2}$

Schritt 2.3.8.2

Schreibe $\frac{1 - \cos (u_{2})}{2}$ als ein Produkt um.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int {(\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{2})))}^{2} d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3

Multipliziere ${(\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{2})))}^{2}$ aus.

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Schritt 2.3.8.3.1

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) (\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

Schritt 2.3.8.3.7

Stelle $\frac{1}{2}$ und $1$ um.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.8

Stelle $\frac{1}{2}$ und $1$ um.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot \frac{1}{2} (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.9

Bewege $\frac{1}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.10

Stelle $\frac{1}{2}$ und $1$ um.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.11

Stelle $\frac{1}{2}$ und $- 1$ um.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (- 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.12

Versetze die Klammern.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (- 1 \cdot \frac{1}{2}) \cos (u_{2}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.13

Bewege $\frac{1}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.14

Stelle $\frac{1}{2}$ und $- 1$ um.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.15

Stelle $\frac{1}{2}$ und $1$ um.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.16

Bewege $\cos (u_{2})$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cos (u_{2}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.17

Bewege $\frac{1}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.18

Stelle $\frac{1}{2}$ und $- 1$ um.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.19

Stelle $\frac{1}{2}$ und $- 1$ um.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) (- 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2})) d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.20

Versetze die Klammern.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) (- 1 \cdot \frac{1}{2}) \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.21

Bewege $\cos (u_{2})$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 \cos (u_{2}) \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.22

Bewege $\frac{1}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.23

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.24

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.25

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{2 \cdot 2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.26

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.27

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.28

Kombiniere $- \frac{1}{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.29

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.30

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\cos (u_{2})$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.31

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.32

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\cos (u_{2})$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.33

Kombiniere $- \frac{\cos (u_{2})}{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{2 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.34

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.35

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.36

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.37

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\cos (u_{2})$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.38

Mutltipliziere $\frac{\cos (u_{2})}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{2 \cdot 2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.39

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.40

Kombiniere $\frac{\cos (u_{2})}{4}$ und $\cos (u_{2})$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2}) \cos (u_{2})}{4} d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.41

Potenziere $\cos (u_{2})$ mit $1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{2}) \cos (u_{2})}{4} d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.42

Potenziere $\cos (u_{2})$ mit $1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{2}) \cos^{1} (u_{2})}{4} d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.43

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{{\cos (u_{2})}^{1 + 1}}{4} d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.44

Addiere $1$ und $1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.45

Subtrahiere $\frac{\cos (u_{2})}{4}$ von $- \frac{\cos (u_{2})}{4}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - 2 \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.46

Kombiniere $- 2$ und $\frac{\cos (u_{2})}{4}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.47

Stelle $\frac{- 2 \cos (u_{2})}{4}$ und $\frac{\cos^{2} (u_{2})}{4}$ um.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{2})}{4} d u_{2}$

Schritt 2.3.8.3.48

Stelle $\frac{1}{4}$ und $\frac{\cos^{2} (u_{2})}{4}$ um.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{2})}{4} d u_{2}$

Schritt 2.3.8.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

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Schritt 2.3.8.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \cos (u_{2})$ heraus.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{2}))}{4} d u_{2}$

Schritt 2.3.8.4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.8.4.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{2}))}{2 (2)} d u_{2}$

Schritt 2.3.8.4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{2}))}{2 \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 2.3.8.4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- \cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

Schritt 2.3.8.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

Schritt 2.3.9

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} d u_{2} + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Schritt 2.3.10

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{4} \int \cos^{2} (u_{2}) d u_{2} + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Schritt 2.3.11

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (u_{2})$ als $\frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2}$ neu zu schreiben.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{4} \int \frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2} d u_{2} + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Schritt 2.3.12

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Schritt 2.3.13

Vereinfache.

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Schritt 2.3.13.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{2 \cdot 4} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2} + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Schritt 2.3.13.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{8} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2} + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Schritt 2.3.14

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{8} (\int d u_{2} + \int \cos (2 u_{2}) d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Schritt 2.3.15

Wende die Konstantenregel an.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{8} (u_{2} + C_{2} + \int \cos (2 u_{2}) d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Schritt 2.3.16

Sei $u_{3} = 2 u_{2}$ . Dann ist $d u_{3} = 2 d u_{2}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{3}$ und $d$ $u_{3}$ .

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Schritt 2.3.16.1

Es sei $u_{3} = 2 u_{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Schritt 2.3.16.1.1

Differenziere $2 u_{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$

Schritt 2.3.16.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ist die Ableitung von $2 u_{2}$ nach $u_{2}$ gleich $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$

Schritt 2.3.16.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 2.3.16.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 2.3.16.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{3}$ und $d u_{3}$ neu.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{8} (u_{2} + C_{2} + \int \cos (u_{3}) \frac{1}{2} d u_{3}) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Schritt 2.3.17

Kombiniere $\cos (u_{3})$ und $\frac{1}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{8} (u_{2} + C_{2} + \int \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3}) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Schritt 2.3.18

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{8} (u_{2} + C_{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u_{3}) d u_{3}) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Schritt 2.3.19

Das Integral von $\cos (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $\sin (u_{3})$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{8} (u_{2} + C_{2} + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C_{3})) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Schritt 2.3.20

Wende die Konstantenregel an.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{8} (u_{2} + C_{2} + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C_{3})) + \frac{1}{4} u_{2} + C_{4} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Schritt 2.3.21

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $u_{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{8} (u_{2} + C_{2} + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C_{3})) + \frac{u_{2}}{4} + C_{4} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Schritt 2.3.22

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{8} (u_{2} + C_{2} + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C_{3})) + \frac{u_{2}}{4} + C_{4} - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Schritt 2.3.23

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{8} (u_{2} + C_{2} + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C_{3})) + \frac{u_{2}}{4} + C_{4} - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Schritt 2.3.24

Das Integral von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sin (u_{2})$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{8} (u_{2} + C_{2} + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C_{3})) + \frac{u_{2}}{4} + C_{4} - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C_{5}))$

Schritt 2.3.25

Vereinfache.

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Schritt 2.3.25.1

Vereinfache.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{u_{2}}{8} + \frac{\sin (u_{3})}{16} + \frac{u_{2}}{4} - \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C_{6}$

Schritt 2.3.25.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.25.2.1

Um $\frac{u_{2}}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{u_{2}}{8} + \frac{u_{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sin (u_{3})}{16} - \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C_{6}$

Schritt 2.3.25.2.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.25.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{u_{2}}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{u_{2}}{8} + \frac{u_{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{\sin (u_{3})}{16} - \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C_{6}$

Schritt 2.3.25.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{u_{2}}{8} + \frac{u_{2} \cdot 2}{8} + \frac{\sin (u_{3})}{16} - \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C_{6}$

Schritt 2.3.25.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{u_{2} + u_{2} \cdot 2}{8} + \frac{\sin (u_{3})}{16} - \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C_{6}$

Schritt 2.3.25.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{u_{2} + 2 \cdot u_{2}}{8} + \frac{\sin (u_{3})}{16} - \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C_{6}$

Schritt 2.3.25.2.5

Addiere $u_{2}$ und $2 u_{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{3 u_{2}}{8} + \frac{\sin (u_{3})}{16} - \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C_{6}$

Schritt 2.3.26

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 2.3.26.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 u_{1}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{3 (2 u_{1})}{8} + \frac{\sin (u_{3})}{16} - \frac{\sin (2 u_{1})}{2}) + C_{6}$

Schritt 2.3.26.2

Ersetze alle $u_{3}$ durch $2 u_{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{3 (2 u_{1})}{8} + \frac{\sin (2 u_{2})}{16} - \frac{\sin (2 u_{1})}{2}) + C_{6}$

Schritt 2.3.26.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $π θ$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{3 (2 (π θ))}{8} + \frac{\sin (2 u_{2})}{16} - \frac{\sin (2 (π θ))}{2}) + C_{6}$

Schritt 2.3.26.4

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 u_{1}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{3 (2 (π θ))}{8} + \frac{\sin (2 (2 u_{1}))}{16} - \frac{\sin (2 (π θ))}{2}) + C_{6}$

Schritt 2.3.26.5

Ersetze alle $u_{1}$ durch $π θ$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{3 (2 (π θ))}{8} + \frac{\sin (2 (2 (π θ)))}{16} - \frac{\sin (2 (π θ))}{2}) + C_{6}$

Schritt 2.3.27

Vereinfache.

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Schritt 2.3.27.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.27.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $8$ .

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Schritt 2.3.27.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $3 (2 (π θ))$ heraus.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{2 (3 (π θ))}{8} + \frac{\sin (2 (2 (π θ)))}{16} - \frac{\sin (2 (π θ))}{2}) + C_{6}$

Schritt 2.3.27.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.27.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{2 (3 (π θ))}{2 \cdot 4} + \frac{\sin (2 (2 (π θ)))}{16} - \frac{\sin (2 (π θ))}{2}) + C_{6}$

Schritt 2.3.27.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{2 (3 (π θ))}{2 \cdot 4} + \frac{\sin (2 (2 (π θ)))}{16} - \frac{\sin (2 (π θ))}{2}) + C_{6}$

Schritt 2.3.27.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{3 (π θ)}{4} + \frac{\sin (2 (2 (π θ)))}{16} - \frac{\sin (2 (π θ))}{2}) + C_{6}$

Schritt 2.3.27.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{3 π θ}{4} + \frac{\sin (4 π θ)}{16} - \frac{\sin (2 π θ)}{2}) + C_{6}$

Schritt 2.3.27.2

Wende das Distributivgesetz an.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \cdot \frac{3 π θ}{4} + \frac{1}{2 π} \cdot \frac{\sin (4 π θ)}{16} + \frac{1}{2 π} (- \frac{\sin (2 π θ)}{2}) + C_{6}$

Schritt 2.3.27.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.27.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.3.27.3.1.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$r + C_{1} = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{3 π θ}{4} + \frac{1}{2 π} \cdot \frac{\sin (4 π θ)}{16} + \frac{1}{2 π} (- \frac{\sin (2 π θ)}{2}) + C_{6}$

Schritt 2.3.27.3.1.2

Faktorisiere $π$ aus $3 π θ$ heraus.

$r + C_{1} = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π (3 θ)}{4} + \frac{1}{2 π} \cdot \frac{\sin (4 π θ)}{16} + \frac{1}{2 π} (- \frac{\sin (2 π θ)}{2}) + C_{6}$

Schritt 2.3.27.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r + C_{1} = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π (3 θ)}{4} + \frac{1}{2 π} \cdot \frac{\sin (4 π θ)}{16} + \frac{1}{2 π} (- \frac{\sin (2 π θ)}{2}) + C_{6}$

Schritt 2.3.27.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$r + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 θ}{4} + \frac{1}{2 π} \cdot \frac{\sin (4 π θ)}{16} + \frac{1}{2 π} (- \frac{\sin (2 π θ)}{2}) + C_{6}$

Schritt 2.3.27.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3 θ}{4}$ .

$r + C_{1} = \frac{3 θ}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2 π} \cdot \frac{\sin (4 π θ)}{16} + \frac{1}{2 π} (- \frac{\sin (2 π θ)}{2}) + C_{6}$

Schritt 2.3.27.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$r + C_{1} = \frac{3 θ}{8} + \frac{1}{2 π} \cdot \frac{\sin (4 π θ)}{16} + \frac{1}{2 π} (- \frac{\sin (2 π θ)}{2}) + C_{6}$

Schritt 2.3.27.3.4

Multipliziere $\frac{1}{2 π} \cdot \frac{\sin (4 π θ)}{16}$ .

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Schritt 2.3.27.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 π}$ mit $\frac{\sin (4 π θ)}{16}$ .

$r + C_{1} = \frac{3 θ}{8} + \frac{\sin (4 π θ)}{2 π \cdot 16} + \frac{1}{2 π} (- \frac{\sin (2 π θ)}{2}) + C_{6}$

Schritt 2.3.27.3.4.2

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$r + C_{1} = \frac{3 θ}{8} + \frac{\sin (4 π θ)}{32 π} + \frac{1}{2 π} (- \frac{\sin (2 π θ)}{2}) + C_{6}$

Schritt 2.3.27.3.5

Multipliziere $\frac{1}{2 π} (- \frac{\sin (2 π θ)}{2})$ .

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Schritt 2.3.27.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 π}$ mit $\frac{\sin (2 π θ)}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{3 θ}{8} + \frac{\sin (4 π θ)}{32 π} - \frac{\sin (2 π θ)}{2 π \cdot 2} + C_{6}$

Schritt 2.3.27.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$r + C_{1} = \frac{3 θ}{8} + \frac{\sin (4 π θ)}{32 π} - \frac{\sin (2 π θ)}{4 π} + C_{6}$

Schritt 2.3.28

Stelle die Terme um.

$r + C_{1} = \frac{3}{8} θ + \frac{1}{32 π} \sin (4 π θ) - \frac{1}{4 π} \sin (2 π θ) + C_{6}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$r = \frac{3}{8} θ + \frac{1}{32 π} \sin (4 π θ) - \frac{1}{4 π} \sin (2 π θ) + K$