Analysis Beispiele

$(2 x^{2} + 3 y^{2}) d y + (3 x^{2} + 4 x y) d x = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Forme um.

$(3 x^{2} + 4 x y) d x + (2 x^{2} + 3 y^{2}) d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 3 x^{2} + 4 x y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} + 4 x y]$

Schritt 2.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} + 4 x y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x y]$

Schritt 2.2.2

Da $3 x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [4 x y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d y} [4 x y]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $4 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $4 x y$ nach $y$ gleich $4 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 4 x \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 4 x \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 4 x$

Schritt 2.4

Addiere $0$ und $4 x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 2 x^{2} + 3 y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3 y^{2}]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} + 3 y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Da $3 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x + 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $4 x$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze $4 x$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $4 x$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$4 x = 4 x$

Schritt 4.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$4 x = 4 x$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} + 4 x y d x$

Schritt 6

Integriere $M (x, y) = 3 x^{2} + 4 x y$ , um $f (x, y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} d x + \int 4 x y d x$

Schritt 6.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 3 \int x^{2} d x + \int 4 x y d x$

Schritt 6.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 4 x y d x$

Schritt 6.4

Da $4 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4 y$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 4 y \int x d x$

Schritt 6.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 4 y (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 6.6

Vereinfache.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + 4 y \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 6.7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3} x^{3} + 4 y \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 6.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \frac{3}{3} x^{3} + 4 y \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 6.7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = 1 x^{3} + 4 y \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 6.7.3

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$f (x, y) = x^{3} + 4 y \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 6.7.4

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + y \frac{4}{2} x^{2} + C$

Schritt 6.7.5

Kombiniere $y$ und $\frac{4}{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{y \cdot 4}{2} x^{2} + C$

Schritt 6.7.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $y$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{4 \cdot y}{2} x^{2} + C$

Schritt 6.7.7

Mutltipliziere $4$ mit $y$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{4 y}{2} x^{2} + C$

Schritt 6.7.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.8.1

Faktorisiere $2$ aus $4 y$ heraus.

$f (x, y) = x^{3} + \frac{2 (2 y)}{2} x^{2} + C$

Schritt 6.7.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (x, y) = x^{3} + \frac{2 (2 y)}{2 (1)} x^{2} + C$

Schritt 6.7.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = x^{3} + \frac{2 (2 y)}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Schritt 6.7.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = x^{3} + \frac{2 y}{1} x^{2} + C$

Schritt 6.7.8.2.4

Dividiere $2 y$ durch $1$ .

$f (x, y) = x^{3} + 2 y x^{2} + C$

Schritt 7

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = x^{3} + 2 y x^{2} + g (y)$

Schritt 8

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Schritt 9

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3} + 2 y x^{2} + g (y)] = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Schritt 9.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 2 y x^{2} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Schritt 9.2.2

Da $x^{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x^{3}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Schritt 9.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 y x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1

Da $2 x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y x^{2}$ nach $y$ gleich $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 2 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Schritt 9.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 2 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Schritt 9.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$0 + 2 x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Schritt 9.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$0 + 2 x^{2} + \frac{d g}{d y} = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Schritt 9.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.1

Addiere $0$ und $2 x^{2}$ .

$2 x^{2} + \frac{d g}{d y} = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Schritt 9.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{2} = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Schritt 10

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = 2 x^{2} + 3 y^{2} - 2 x^{2}$

Schritt 10.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{2} + 3 y^{2} - 2 x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.2.1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 0$

Schritt 10.1.2.2

Addiere $3 y^{2}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2}$

Schritt 11

Bestimme die Stammfunktion von $3 y^{2}$ , um $g (y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = 3 y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 y^{2} d y$

Schritt 11.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 3 y^{2} d y$

Schritt 11.3

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$g (y) = 3 \int y^{2} d y$

Schritt 11.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Schritt 11.5

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.5.1

Schreibe $3 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ als $3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$ um.

$g (y) = 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

Schritt 11.5.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.5.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} + C$

Schritt 11.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} + C$

Schritt 11.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$g (y) = 1 y^{3} + C$

Schritt 11.5.2.3

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $1$ .

$g (y) = y^{3} + C$

Schritt 12

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = x^{3} + 2 y x^{2} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = x^{3} + 2 y x^{2} + y^{3} + C$