Analysis Beispiele

$2 x^{2} - 3 \frac{d y}{d x} = 5$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 \frac{d y}{d x} = 5 - 2 x^{2}$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 \frac{d y}{d x} = 5 - 2 x^{2}$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 \frac{d y}{d x} = 5 - 2 x^{2}$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 \frac{d y}{d x}}{- 3} = \frac{5}{- 3} + \frac{- 2 x^{2}}{- 3}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 \frac{d y}{d x}}{- 3} = \frac{5}{- 3} + \frac{- 2 x^{2}}{- 3}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{- 3} + \frac{- 2 x^{2}}{- 3}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5}{3} + \frac{- 2 x^{2}}{- 3}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5}{3} + \frac{2 x^{2}}{3}$

Schritt 1.2

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (- \frac{5}{3} + \frac{2 x^{2}}{3}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int - \frac{5}{3} + \frac{2 x^{2}}{3} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int - \frac{5}{3} + \frac{2 x^{2}}{3} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int - \frac{5}{3} d x + \int \frac{2 x^{2}}{3} d x$

Schritt 2.3.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = - \frac{5}{3} x + C_{2} + \int \frac{2 x^{2}}{3} d x$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{2}{3}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - \frac{5}{3} x + C_{2} + \frac{2}{3} \int x^{2} d x$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = - \frac{5}{3} x + C_{2} + \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = - \frac{5}{3} x + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = - \frac{5}{3} x + \frac{2}{3 \cdot 3} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y + C_{1} = - \frac{5}{3} x + \frac{2}{9} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = - \frac{5}{3} x + \frac{2}{9} x^{3} + K$