Analysis Beispiele

$2 x y + (1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} = 0$ , $y (0) = 1$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x y + 1 \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} = 0$

Schritt 1.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{d y}{d x}$ mit $1$ .

$2 x y + \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} = 0$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} = - 2 x y$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $\frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x}$ heraus.

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Schritt 1.1.3.1

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 + x^{2} \frac{d y}{d x} = - 2 x y$

Schritt 1.1.3.2

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $x^{2} \frac{d y}{d x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 + \frac{d y}{d x} x^{2} = - 2 x y$

Schritt 1.1.3.3

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $\frac{d y}{d x} \cdot 1 + \frac{d y}{d x} x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = - 2 x y$

Schritt 1.1.4

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = - 2 x y$ durch $1 + x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = - 2 x y$ durch $1 + x^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{- 2 x y}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x^{2}$ .

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{- 2 x y}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.1.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{1 + x^{2}} y$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{1 + x^{2}} y)$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} (\frac{2 x}{1 + x^{2}} y)$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.4.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y}$ in den Zähler.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (\frac{2 x}{1 + x^{2}} y)$

Schritt 1.4.2.2

Faktorisiere $y$ aus $\frac{2 x}{1 + x^{2}} y$ heraus.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{2 x}{1 + x^{2}})$

Schritt 1.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{2 x}{1 + x^{2}})$

Schritt 1.4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{1 + x^{2}}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.3.4

Sei $u = 1 + x^{2}$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.4.1

Es sei $u = 1 + x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.4.1.1

Differenziere $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 2.3.4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.4.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Schritt 2.3.4.1.5

Addiere $0$ und $2 x$ .

$2 x$

Schritt 2.3.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 2.3.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 2.3.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 2.3.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.7.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Schritt 2.3.9

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 2.3.10

Ersetze alle $u$ durch $1 + x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) + \ln (| 1 + x^{2} |) = C$

Schritt 3.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | 1 + x^{2} |) = C$

Schritt 3.3

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\ln (| y (1 + x^{2}) |) = C$

Schritt 3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y \cdot 1 + y x^{2} |) = C$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\ln (| y + y x^{2} |) = C$

Schritt 3.6

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y + y x^{2} |)} = e^{C}$

Schritt 3.7

Schreibe $\ln (| y + y x^{2} |) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y + y x^{2} |$

Schritt 3.8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.8.1

Schreibe die Gleichung als $| y + y x^{2} | = e^{C}$ um.

$| y + y x^{2} | = e^{C}$

Schritt 3.8.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y + y x^{2} = \pm e^{C}$

Schritt 3.8.3

Faktorisiere $y$ aus $y + y x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.8.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$y \cdot 1 + y x^{2} = \pm e^{C}$

Schritt 3.8.3.2

Faktorisiere $y$ aus $y x^{2}$ heraus.

$y \cdot 1 + y (x^{2}) = \pm e^{C}$

Schritt 3.8.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 1 + y (x^{2})$ heraus.

$y (1 + x^{2}) = \pm e^{C}$

Schritt 3.8.4

Teile jeden Ausdruck in $y (1 + x^{2}) = \pm e^{C}$ durch $1 + x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 3.8.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (1 + x^{2}) = \pm e^{C}$ durch $1 + x^{2}$ .

$\frac{y (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{\pm e^{C}}{1 + x^{2}}$

Schritt 3.8.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.8.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x^{2}$ .

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Schritt 3.8.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{\pm e^{C}}{1 + x^{2}}$

Schritt 3.8.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{1 + x^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{C}{1 + x^{2}}$

Schritt 5

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $0$ für $x$ und $1$ für $y$ in $y = \frac{C}{1 + x^{2}}$ ersetzt wird.

$1 = \frac{C}{1 + 0^{2}}$

Schritt 6

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{C}{1 + 0^{2}} = 1$ um.

$\frac{C}{1 + 0^{2}} = 1$

Schritt 6.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $1 + 0^{2}$ .

$(1 + 0^{2}) \frac{C}{1 + 0^{2}} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

Schritt 6.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.1

Vereinfache $(1 + 0^{2}) \frac{C}{1 + 0^{2}}$ .

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Schritt 6.3.1.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.1.1.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$(1 + 0^{2}) \frac{C}{1 + 0} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

Schritt 6.3.1.1.1.2

Addiere $1$ und $0$ .

$(1 + 0^{2}) \frac{C}{1} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

Schritt 6.3.1.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.3.1.1.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$(1 + 0) \frac{C}{1} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

Schritt 6.3.1.1.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$1 \frac{C}{1} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

Schritt 6.3.1.1.2.3

Mutltipliziere $\frac{C}{1}$ mit $1$ .

$\frac{C}{1} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

Schritt 6.3.1.1.2.4

Dividiere $C$ durch $1$ .

$C = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache $(1 + 0^{2}) \cdot 1$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$C = (1 + 0) \cdot 1$

Schritt 6.3.2.1.2

Addiere $1$ und $0$ .

$C = 1 \cdot 1$

Schritt 6.3.2.1.3

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$C = 1$

Schritt 7

Setze $1$ für $C$ in $y = \frac{C}{1 + x^{2}}$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $C$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{1 + x^{2}}$