Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als eine Funktion von $\frac{y}{x}$ um.

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Schritt 1.1

Spalte $\frac{y^{2} + x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$ auf und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Zerlege den Bruch $\frac{y^{2} + x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$ in zwei Brüche.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x y} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{x y} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Schritt 1.1.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Schritt 1.1.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Schritt 1.1.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Schritt 1.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{y}$

Schritt 1.2

Nehme $\sqrt{y^{2}} = y$ an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{y^{2}}}$

Schritt 1.3

Vereinige $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ und $\sqrt{y^{2}}$ zu einer einzigen Wurzel.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{2}}}$

Schritt 1.4

Spalte $\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{2}}$ auf und vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Zerlege den Bruch $\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{2}}$ in zwei Brüche.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{y^{2}}}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{y^{2}}}$

Schritt 1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1}$

Schritt 1.5

Schreibe die Differentialgleichung als $f (\frac{y}{x})$ um.

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Schritt 1.5.1

Schreibe $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ als ${(\frac{x}{y})}^{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{{(\frac{x}{y})}^{2} + 1}$

Schritt 1.5.2

Schreibe $\frac{x}{y}$ als ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{{({(\frac{y}{x})}^{- 1})}^{2} + 1}$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{{(V^{- 1})}^{2} + 1}$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{{(V^{- 1})}^{2} + 1}$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Vereinfache $V + \sqrt{{(V^{- 1})}^{2} + 1}$ .

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Schritt 6.1.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(V^{- 1})}^{2}$ .

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Schritt 6.1.1.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V^{- 1 \cdot 2} + 1}$

Schritt 6.1.1.1.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V^{- 2} + 1}$

Schritt 6.1.1.1.1.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1}{V^{2}} + 1}$

Schritt 6.1.1.1.1.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1}{V^{2}} + \frac{V^{2}}{V^{2}}}$

Schritt 6.1.1.1.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1 + V^{2}}{V^{2}}}$

Schritt 6.1.1.1.1.5

Schreibe $\frac{1 + V^{2}}{V^{2}}$ als ${(\frac{1}{V})}^{2} (1 + V^{2})$ um.

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Schritt 6.1.1.1.1.5.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $1 + V^{2}$ heraus.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1^{2} (1 + V^{2})}{V^{2}}}$

Schritt 6.1.1.1.1.5.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $V^{2}$ aus $V^{2}$ heraus.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1^{2} (1 + V^{2})}{V^{2} \cdot 1}}$

Schritt 6.1.1.1.1.5.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (1 + V^{2})}{V^{2} \cdot 1}$ um.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{{(\frac{1}{V})}^{2} (1 + V^{2})}$

Schritt 6.1.1.1.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{V} \sqrt{1 + V^{2}}$

Schritt 6.1.1.1.1.7

Kombiniere $\frac{1}{V}$ und $\sqrt{1 + V^{2}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Schritt 6.1.1.1.2

Um $V$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{V}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot V}{V} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Schritt 6.1.1.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot V + \sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Schritt 6.1.1.1.4

Mutltipliziere $V$ mit $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2} + \sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Schritt 6.1.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d V}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.1.2.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} + \sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Schritt 6.1.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.2.2.1

Zerlege den Bruch $\frac{V^{2} + \sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ in zwei Brüche.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{V} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Schritt 6.1.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $V^{2}$ und $V$ .

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Schritt 6.1.1.2.2.2.1

Faktorisiere $V$ aus $V^{2}$ heraus.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Schritt 6.1.1.2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.1.2.2.2.2.1

Potenziere $V$ mit $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V^{1}} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Schritt 6.1.1.2.2.2.2.2

Faktorisiere $V$ aus $V^{1}$ heraus.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V \cdot 1} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Schritt 6.1.1.2.2.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V \cdot 1} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Schritt 6.1.1.2.2.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Schritt 6.1.1.2.2.2.2.5

Dividiere $V$ durch $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = V + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Schritt 6.1.1.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $V + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$ .

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Schritt 6.1.1.2.3.1

Subtrahiere $V$ von $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} + 0$

Schritt 6.1.1.2.3.2

Addiere $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ und $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Schritt 6.1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.1.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2

Kombinieren.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3

Mutltipliziere $\sqrt{1 + V^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V x}$

Schritt 6.1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 6.1.4

Vereinfache.

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Schritt 6.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 6.1.4.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1.4.2.1

Mutltipliziere $\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}} \sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 6.1.4.2.2

Potenziere $\sqrt{1 + V^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} \sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 6.1.4.2.3

Potenziere $\sqrt{1 + V^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + V^{2}}}^{1}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 6.1.4.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1 + 1}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 6.1.4.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 6.1.4.2.6

Schreibe ${\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}$ als $1 + V^{2}$ um.

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Schritt 6.1.4.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + V^{2}}$ als ${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 6.1.4.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 6.1.4.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 6.1.4.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.4.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 6.1.4.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{1}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 6.1.4.2.6.5

Vereinfache.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 6.1.4.3

Kombinieren.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

Schritt 6.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V$ .

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Schritt 6.1.4.4.1

Faktorisiere $V$ aus $V \sqrt{1 + V^{2}}$ heraus.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V (\sqrt{1 + V^{2}})}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

Schritt 6.1.4.4.2

Faktorisiere $V$ aus $V x$ heraus.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V (\sqrt{1 + V^{2}})}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V (x)}$

Schritt 6.1.4.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

Schritt 6.1.4.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{x}$

Schritt 6.1.4.5

Mutltipliziere $\sqrt{1 + V^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

Schritt 6.1.4.6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \sqrt{1 + V^{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

Schritt 6.1.4.7

Potenziere $\sqrt{1 + V^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} \sqrt{1 + V^{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

Schritt 6.1.4.8

Potenziere $\sqrt{1 + V^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + V^{2}}}^{1}}{(1 + V^{2}) x}$

Schritt 6.1.4.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1 + 1}}{(1 + V^{2}) x}$

Schritt 6.1.4.10

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

Schritt 6.1.4.11

Schreibe ${\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}$ als $1 + V^{2}$ um.

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Schritt 6.1.4.11.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + V^{2}}$ als ${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

Schritt 6.1.4.11.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{(1 + V^{2}) x}$

Schritt 6.1.4.11.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

Schritt 6.1.4.11.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.4.11.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

Schritt 6.1.4.11.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{1}}{(1 + V^{2}) x}$

Schritt 6.1.4.11.5

Vereinfache.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

Schritt 6.1.4.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + V^{2}$ .

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Schritt 6.1.4.12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

Schritt 6.1.4.12.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} d V = \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Sei $u = 1 + V^{2}$ . Dann ist $d u = 2 V d V$ , folglich $\frac{1}{2} d u = V d V$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Es sei $u = 1 + V^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d V}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Differenziere $1 + V^{2}$ .

$\frac{d}{d V} [1 + V^{2}]$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + V^{2}$ nach $V$ $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Schritt 6.2.2.1.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $V$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $V$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Schritt 6.2.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ gleich $n V^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 V$

Schritt 6.2.2.1.1.5

Addiere $0$ und $2 V$ .

$2 V$

Schritt 6.2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.2.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.4.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.2.4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.4.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.6

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.6.1

Schreibe $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ als $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ um.

$\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.6.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.6.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.6.2.3

Mutltipliziere $u^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.7

Ersetze alle $u$ durch $1 + V^{2}$ .

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$

Schritt 6.3

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache ${({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Schritt 6.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Schritt 6.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(1 + V^{2})}^{1} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Schritt 6.3.2.1.2

Vereinfache.

$1 + V^{2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Schritt 6.3.3

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$V^{2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1$

Schritt 6.3.3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$V = \pm \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1}$

Schritt 6.3.3.3

Vereinfache $\pm \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1}$ .

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Schritt 6.3.3.3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$V = \pm \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1^{2}}$

Schritt 6.3.3.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \ln (| x |) + C$ und $b = 1$ .

$V = \pm \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

Schritt 6.3.3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.3.3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

Schritt 6.3.3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

Schritt 6.3.3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

Schritt 6.4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}, - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 8

Löse $\frac{y}{x} = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$ nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Forme um.

$\frac{y}{x} = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 8.2

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$

Schritt 8.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$

Schritt 8.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.2.1

Vereinfache $\sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$ .

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Schritt 8.3.2.1.1

Potenziere $\ln (| x |) + C$ mit $1$ .

$y = \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{1} (\ln (| x |) + C)} x$

Schritt 8.3.2.1.2

Potenziere $\ln (| x |) + C$ mit $1$ .

$y = \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{1} {(\ln (| x |) + C)}^{1}} x$

Schritt 8.3.2.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{1 + 1}} x$

Schritt 8.3.2.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2}} x$

Schritt 8.3.2.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = (\ln (| x |) + C) x$

Schritt 8.3.2.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \ln (| x |) x + C x$

Schritt 8.3.2.1.7

Vereinfache durch Vertauschen.

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Schritt 8.3.2.1.7.1

Stelle $\ln (| x |)$ und $x$ um.

$y = x \ln (| x |) + C x$

Schritt 8.3.2.1.7.2

Stelle $x \ln (| x |)$ und $C x$ um.

$y = C x + x \ln (| x |)$

Schritt 9

Löse $\frac{y}{x} = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$ nach $y$ auf.

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Schritt 9.1

Forme um.

$\frac{y}{x} = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 9.2

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 9.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$

Schritt 9.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$

Schritt 9.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.2.1

Vereinfache $- \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$ .

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Schritt 9.3.2.1.1

Potenziere $\ln (| x |) + C$ mit $1$ .

$y = - \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{1} (\ln (| x |) + C)} x$

Schritt 9.3.2.1.2

Potenziere $\ln (| x |) + C$ mit $1$ .

$y = - \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{1} {(\ln (| x |) + C)}^{1}} x$

Schritt 9.3.2.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = - \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{1 + 1}} x$

Schritt 9.3.2.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$y = - \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2}} x$

Schritt 9.3.2.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = - (\ln (| x |) + C) x$

Schritt 9.3.2.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$y = (- \ln (| x |) - C) x$

Schritt 9.3.2.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \ln (| x |) x - C x$

Schritt 9.3.2.1.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.3.2.1.8.1

Bewege $\ln (| x |)$ .

$y = - 1 x \ln (| x |) - C x$

Schritt 9.3.2.1.8.2

Stelle $- 1 x \ln (| x |)$ und $- C x$ um.

$y = - C x - 1 x \ln (| x |)$

Schritt 9.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y = - C x - x \ln (| x |)$

Schritt 10

Liste die Lösungen auf.

$y = C x + x \ln (| x |), y = - C x - x \ln (| x |)$