Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} - 5 y = - \frac{5}{2} x y^{3}$

Schritt 1

Um die Differentialgleichung zu lösen, sei $v = y^{1 - n}$ wo $n$ der Exponent von $y^{3}$ ist.

$v = y^{- 2}$

Schritt 2

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

$y = v^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 3

Nimm die Ableitung von $y$ in Gedenken an $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 4

Nimm die Ableitung von $v^{- \frac{1}{2}}$ in Gedenken an $x$ .

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Schritt 4.1

Nimm die Ableitung von $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1$ und $g (x) = v^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{1}}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Schritt 4.6

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.6.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Schritt 4.6.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.6.2.1

Mutltipliziere $v^{\frac{1}{2}}$ mit $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Schritt 4.6.2.2

Subtrahiere $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]$ von $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Schritt 4.6.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Schritt 4.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = v$ .

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Schritt 4.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.7.3

Ersetze alle $u$ durch $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.8

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.9

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.11.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.13

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.14

Bringe $v^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 4.15

Schreibe $\frac{d}{d x} [v]$ als $v'$ um.

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} v'}{v}$

Schritt 4.16

Kombiniere $\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ und $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$

Schritt 4.17

Schreibe $\frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$ als ein Produkt um.

$y' = - (\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{v})$

Schritt 4.18

Mutltipliziere $\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{v}$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

Schritt 4.19

Potenziere $v$ mit $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 4.20

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

Schritt 4.21

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Schritt 4.22

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Schritt 4.23

Addiere $2$ und $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5

Setze $- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ für $\frac{d y}{d x}$ und $v^{- \frac{1}{2}}$ für $y$ in die ursprüngliche Gleichung $\frac{d y}{d x} - 5 y = - \frac{5}{2} x y^{3}$ ein.

$- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}} - 5 v^{- \frac{1}{2}} = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - 5 v^{- \frac{1}{2}} = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ mit $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.1.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - 5 v^{- \frac{1}{2}} = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ mit $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) - 5 v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 6.1.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ in den Zähler.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) - 5 v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2.1.1.2

Faktorisiere $2 v^{\frac{3}{2}}$ aus $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ heraus.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} (- 1)) - 5 v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} \cdot - 1) - 5 v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - 5 v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - 5 v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{d v}{d x}$ mit $1$ .

$\frac{d v}{d x} - 5 v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2.1.4

Multipliziere $v^{- \frac{1}{2}}$ mit $v^{\frac{3}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.2.1.4.1

Bewege $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} - 5 (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{1}{2}}) (- 1 \cdot (2)) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2.1.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} - 5 v^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} (- 1 \cdot (2)) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2.1.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d v}{d x} - 5 v^{\frac{3 - 1}{2}} (- 1 \cdot (2)) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2.1.4.4

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$\frac{d v}{d x} - 5 v^{\frac{2}{2}} (- 1 \cdot (2)) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2.1.4.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 5 v^{1} (- 1 \cdot (2)) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2.1.5

Vereinfache $- 5 v^{1} (- 1 \cdot (2))$ .

$\frac{d v}{d x} - 5 v (- 1 \cdot (2)) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 5 v \cdot - 2 = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.2.1.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 5$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{5}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{x \cdot 5}{2} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.3.2.1

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 \cdot x}{2} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ .

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Schritt 6.1.3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} v^{- \frac{1}{2} \cdot 3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.3.2.2.2

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot 3$ .

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Schritt 6.1.3.2.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} v^{- 3 (\frac{1}{2})} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.3.2.2.2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} v^{\frac{- 3}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.3.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} v^{- \frac{3}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 6.1.3.3

Multipliziere $v^{- \frac{3}{2}}$ mit $v^{\frac{3}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.3.3.1

Bewege $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{3}{2}}) (- 1 \cdot (2))$

Schritt 6.1.3.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} v^{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}} (- 1 \cdot (2))$

Schritt 6.1.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} v^{\frac{3 - 3}{2}} (- 1 \cdot (2))$

Schritt 6.1.3.3.4

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} v^{\frac{0}{2}} (- 1 \cdot (2))$

Schritt 6.1.3.3.5

Dividiere $0$ durch $2$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} v^{0} (- 1 \cdot (2))$

Schritt 6.1.3.4

Vereinfache $- \frac{5 x}{2} v^{0} (- 1 \cdot (2))$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} (- 1 \cdot (2))$

Schritt 6.1.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.3.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5 x}{2}$ in den Zähler.

$\frac{d v}{d x} + 10 v = \frac{- 5 x}{2} (- 1 \cdot (2))$

Schritt 6.1.3.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 1 \cdot (2)$ heraus.

$\frac{d v}{d x} + 10 v = \frac{- 5 x}{2} (2 \cdot - 1)$

Schritt 6.1.3.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d v}{d x} + 10 v = \frac{- 5 x}{2} (2 \cdot - 1)$

Schritt 6.1.3.5.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - 5 x \cdot - 1$

Schritt 6.1.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = 5 x$

Schritt 6.2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 10$ gilt.

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Schritt 6.2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 10 d x}$

Schritt 6.2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{10 x + C}$

Schritt 6.2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{10 x}$

Schritt 6.3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{10 x}$ .

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Schritt 6.3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{10 x}$ .

$e^{10 x} \frac{d v}{d x} + e^{10 x} (10 v) = e^{10 x} (5 x)$

Schritt 6.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{10 x} \frac{d v}{d x} + 10 e^{10 x} v = e^{10 x} (5 x)$

Schritt 6.3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{10 x} \frac{d v}{d x} + 10 e^{10 x} v = 5 e^{10 x} x$

Schritt 6.3.4

Stelle die Faktoren in $e^{10 x} \frac{d v}{d x} + 10 e^{10 x} v = 5 e^{10 x} x$ um.

$e^{10 x} \frac{d v}{d x} + 10 v e^{10 x} = 5 x e^{10 x}$

Schritt 6.4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{10 x} v] = 5 x e^{10 x}$

Schritt 6.5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{10 x} v] d x = \int 5 x e^{10 x} d x$

Schritt 6.6

Integriere die linke Seite.

$e^{10 x} v = \int 5 x e^{10 x} d x$

Schritt 6.7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.7.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$e^{10 x} v = 5 \int x e^{10 x} d x$

Schritt 6.7.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{10 x}$ .

$e^{10 x} v = 5 (x (\frac{1}{10} e^{10 x}) - \int \frac{1}{10} e^{10 x} d x)$

Schritt 6.7.3

Vereinfache.

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Schritt 6.7.3.1

Kombiniere $\frac{1}{10}$ und $e^{10 x}$ .

$e^{10 x} v = 5 (x \frac{e^{10 x}}{10} - \int \frac{1}{10} e^{10 x} d x)$

Schritt 6.7.3.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{10 x}}{10}$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \int \frac{1}{10} e^{10 x} d x)$

Schritt 6.7.3.3

Kombiniere $\frac{1}{10}$ und $e^{10 x}$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \int \frac{e^{10 x}}{10} d x)$

Schritt 6.7.4

Da $\frac{1}{10}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{10}$ aus dem Integral.

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - (\frac{1}{10} \int e^{10 x} d x))$

Schritt 6.7.5

Sei $u = 10 x$ . Dann ist $d u = 10 d x$ , folglich $\frac{1}{10} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.7.5.1

Es sei $u = 10 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.7.5.1.1

Differenziere $10 x$ .

$\frac{d}{d x} [10 x]$

Schritt 6.7.5.1.2

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.7.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10 \cdot 1$

Schritt 6.7.5.1.4

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$10$

Schritt 6.7.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \frac{1}{10} \int e^{u} \frac{1}{10} d u)$

Schritt 6.7.6

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{10}$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \frac{1}{10} \int \frac{e^{u}}{10} d u)$

Schritt 6.7.7

Da $\frac{1}{10}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{10}$ aus dem Integral.

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \frac{1}{10} (\frac{1}{10} \int e^{u} d u))$

Schritt 6.7.8

Vereinfache.

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Schritt 6.7.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{10}$ mit $\frac{1}{10}$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \frac{1}{10 \cdot 10} \int e^{u} d u)$

Schritt 6.7.8.2

Mutltipliziere $10$ mit $10$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \frac{1}{100} \int e^{u} d u)$

Schritt 6.7.9

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \frac{1}{100} (e^{u} + C))$

Schritt 6.7.10

Schreibe $5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \frac{1}{100} (e^{u} + C))$ als $5 (\frac{1}{10} x e^{10 x} - \frac{1}{100} e^{u}) + C$ um.

$e^{10 x} v = 5 (\frac{1}{10} x e^{10 x} - \frac{1}{100} e^{u}) + C$

Schritt 6.7.11

Ersetze alle $u$ durch $10 x$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{1}{10} x e^{10 x} - \frac{1}{100} e^{10 x}) + C$

Schritt 6.7.12

Vereinfache.

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Schritt 6.7.12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.7.12.1.1

Kombiniere $\frac{1}{10}$ und $x$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x}{10} e^{10 x} - \frac{1}{100} e^{10 x}) + C$

Schritt 6.7.12.1.2

Kombiniere $\frac{x}{10}$ und $e^{10 x}$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \frac{1}{100} e^{10 x}) + C$

Schritt 6.7.12.1.3

Kombiniere $e^{10 x}$ und $\frac{1}{100}$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \frac{e^{10 x}}{100}) + C$

Schritt 6.7.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{10 x} v = 5 \frac{x e^{10 x}}{10} + 5 (- \frac{e^{10 x}}{100}) + C$

Schritt 6.7.12.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.7.12.3.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$e^{10 x} v = 5 \frac{x e^{10 x}}{5 (2)} + 5 (- \frac{e^{10 x}}{100}) + C$

Schritt 6.7.12.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{10 x} v = 5 \frac{x e^{10 x}}{5 \cdot 2} + 5 (- \frac{e^{10 x}}{100}) + C$

Schritt 6.7.12.3.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{10 x} v = \frac{x e^{10 x}}{2} + 5 (- \frac{e^{10 x}}{100}) + C$

Schritt 6.7.12.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.7.12.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{10 x}}{100}$ in den Zähler.

$e^{10 x} v = \frac{x e^{10 x}}{2} + 5 \frac{- e^{10 x}}{100} + C$

Schritt 6.7.12.4.2

Faktorisiere $5$ aus $100$ heraus.

$e^{10 x} v = \frac{x e^{10 x}}{2} + 5 \frac{- e^{10 x}}{5 (20)} + C$

Schritt 6.7.12.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{10 x} v = \frac{x e^{10 x}}{2} + 5 \frac{- e^{10 x}}{5 \cdot 20} + C$

Schritt 6.7.12.4.4

Forme den Ausdruck um.

$e^{10 x} v = \frac{x e^{10 x}}{2} + \frac{- e^{10 x}}{20} + C$

Schritt 6.7.12.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{10 x} v = \frac{x e^{10 x}}{2} - \frac{e^{10 x}}{20} + C$

Schritt 6.7.13

Stelle die Terme um.

$e^{10 x} v = \frac{1}{2} x e^{10 x} - \frac{1}{20} e^{10 x} + C$

Schritt 6.8

Teile jeden Ausdruck in $e^{10 x} v = \frac{1}{2} x e^{10 x} - \frac{1}{20} e^{10 x} + C$ durch $e^{10 x}$ und vereinfache.

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Schritt 6.8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{10 x} v = \frac{1}{2} x e^{10 x} - \frac{1}{20} e^{10 x} + C$ durch $e^{10 x}$ .

$\frac{e^{10 x} v}{e^{10 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{- \frac{1}{20} e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Schritt 6.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{10 x}$ .

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Schritt 6.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{10 x} v}{e^{10 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{- \frac{1}{20} e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Schritt 6.8.2.1.2

Dividiere $v$ durch $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} x e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{- \frac{1}{20} e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Schritt 6.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{10 x}$ .

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Schritt 6.8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v = \frac{\frac{1}{2} x e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{- \frac{1}{20} e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Schritt 6.8.3.1.1.2

Dividiere $\frac{1}{2} x$ durch $1$ .

$v = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{20} e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Schritt 6.8.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{10 x}$ .

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Schritt 6.8.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{20} e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Schritt 6.8.3.1.2.2

Dividiere $- \frac{1}{20}$ durch $1$ .

$v = \frac{1}{2} x - \frac{1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Schritt 6.8.3.2

Subtrahiere $\frac{1}{20}$ von $\frac{1}{2} x$ .

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Schritt 6.8.3.2.1

Stelle $\frac{1}{2}$ und $x$ um.

$v = x \frac{1}{2} - \frac{1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Schritt 6.8.3.2.2

Um $x \frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{20}{20}$ .

$v = x \frac{1}{2} \cdot \frac{20}{20} - \frac{1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Schritt 6.8.3.2.3

Kombiniere $x \frac{1}{2}$ und $\frac{20}{20}$ .

$v = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 20}{20} - \frac{1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Schritt 6.8.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$v = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 20 - 1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Schritt 6.8.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.8.3.3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$v = \frac{\frac{x}{2} \cdot 20 - 1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Schritt 6.8.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.8.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $20$ heraus.

$v = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 (10)) - 1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Schritt 6.8.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 \cdot 10) - 1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Schritt 6.8.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$v = \frac{x \cdot 10 - 1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Schritt 6.8.3.3.3

Bringe $10$ auf die linke Seite von $x$ .

$v = \frac{10 x - 1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Schritt 6.8.3.4

Um $\frac{10 x - 1}{20}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e^{10 x}}{e^{10 x}}$ .

$v = \frac{10 x - 1}{20} \cdot \frac{e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Schritt 6.8.3.5

Um $\frac{C}{e^{10 x}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{20}{20}$ .

$v = \frac{10 x - 1}{20} \cdot \frac{e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{C}{e^{10 x}} \cdot \frac{20}{20}$

Schritt 6.8.3.6

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $20 e^{10 x}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.8.3.6.1

Mutltipliziere $\frac{10 x - 1}{20}$ mit $\frac{e^{10 x}}{e^{10 x}}$ .

$v = \frac{(10 x - 1) e^{10 x}}{20 e^{10 x}} + \frac{C}{e^{10 x}} \cdot \frac{20}{20}$

Schritt 6.8.3.6.2

Mutltipliziere $\frac{C}{e^{10 x}}$ mit $\frac{20}{20}$ .

$v = \frac{(10 x - 1) e^{10 x}}{20 e^{10 x}} + \frac{C \cdot 20}{e^{10 x} \cdot 20}$

Schritt 6.8.3.6.3

Stelle die Faktoren von $e^{10 x} \cdot 20$ um.

$v = \frac{(10 x - 1) e^{10 x}}{20 e^{10 x}} + \frac{C \cdot 20}{20 e^{10 x}}$

Schritt 6.8.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$v = \frac{(10 x - 1) e^{10 x} + C \cdot 20}{20 e^{10 x}}$

Schritt 6.8.3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.8.3.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$v = \frac{10 x e^{10 x} - 1 e^{10 x} + C \cdot 20}{20 e^{10 x}}$

Schritt 6.8.3.8.2

Schreibe $- 1 e^{10 x}$ als $- e^{10 x}$ um.

$v = \frac{10 x e^{10 x} - e^{10 x} + C \cdot 20}{20 e^{10 x}}$

Schritt 6.8.3.8.3

Bringe $20$ auf die linke Seite von $C$ .

$v = \frac{10 x e^{10 x} - e^{10 x} + 20 C}{20 e^{10 x}}$

Schritt 7

Ersetze $v$ durch $y^{- 2}$ .

$y^{- 2} = \frac{10 x e^{10 x} - e^{10 x} + 20 C}{20 e^{10 x}}$