Analysis Beispiele

$\frac{d}{d x} (\frac{d y}{d x}) = 6 x + 3$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{d}{d x} d y = (6 x + 3) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} d y = \int 6 x + 3 d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{d}{d x} y + C_{1} = \int 6 x + 3 d x$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.2.2.1

Kombiniere $\frac{d}{d x}$ und $y$ .

$\frac{d y}{d x} + C_{1} = \int 6 x + 3 d x$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe $\frac{d y}{d x} + C_{1}$ als $\frac{1}{d x} d y + C_{1}$ um.

$\frac{1}{d x} d y + C_{1} = \int 6 x + 3 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{d x} d y + C_{1} = \int 6 x d x + \int 3 d x$

Schritt 2.3.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$\frac{1}{d x} d y + C_{1} = 6 \int x d x + \int 3 d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{d x} d y + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int 3 d x$

Schritt 2.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{d x} d y + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 3 x + C_{3}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{d x} d y + C_{1} = 6 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 3 x + C_{3}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

$\frac{1}{d x} d y + C_{1} = 3 x^{2} + 3 x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{d x} d y = 3 x^{2} + 3 x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache $\frac{1}{d x} d y$ .

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Schritt 3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{d x}$ und $d$ .

$\frac{d}{d x} y = 3 x^{2} + 3 x + K$

Schritt 3.1.2

Kombiniere $\frac{d}{d x}$ und $y$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 3 x + K$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten mit $d x$ .

$\frac{d y}{d x} d x = (3 x^{2} + 3 x + K) d x$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $d x$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} d x = (3 x^{2} + 3 x + K) d x$

Schritt 3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$d y = (3 x^{2} + 3 x + K) d x$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache $(3 x^{2} + 3 x + K) d x$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$d y = 3 x^{2} d x + 3 x d x + K d x$

Schritt 3.3.2.1.2

Stelle um.

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$d y = 3 d x x^{2} + 3 x d x + K d x$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Bewege $x$ .

$d y = 3 d x x^{2} + 3 d x x + K d x$

Schritt 3.3.2.1.2.3

Bewege $3 d x x$ .

$d y = 3 d x x^{2} + K d x + 3 d x x$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $d y = 3 d x x^{2} + K d x + 3 d x x$ durch $d$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $d y = 3 d x x^{2} + K d x + 3 d x x$ durch $d$ .

$\frac{d y}{d} = \frac{3 d x x^{2}}{d} + \frac{K d x}{d} + \frac{3 d x x}{d}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $d$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d} = \frac{3 d x x^{2}}{d} + \frac{K d x}{d} + \frac{3 d x x}{d}$

Schritt 3.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{3 d x x^{2}}{d} + \frac{K d x}{d} + \frac{3 d x x}{d}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{3 d x x^{2}}{d} + \frac{K}{d} + \frac{3 d x x}{d}$