Analysis Beispiele

$4 t x \frac{d x}{d t} = x^{2} + 1$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 t x \frac{d x}{d t} = x^{2} + 1$ durch $4 t x$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 t x \frac{d x}{d t} = x^{2} + 1$ durch $4 t x$ .

$\frac{4 t x \frac{d x}{d t}}{4 t x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 t x \frac{d x}{d t}}{4 t x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Schritt 1.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t x \frac{d x}{d t}}{t x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t x \frac{d x}{d t}}{t x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Schritt 1.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \frac{d x}{d t}}{x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Schritt 1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d x}{d t}}{x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Schritt 1.1.2.3.2

Dividiere $\frac{d x}{d t}$ durch $1$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{d x}{d t} = \frac{x \cdot x}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Schritt 1.1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $4 t x$ heraus.

$\frac{d x}{d t} = \frac{x \cdot x}{x (4 t)} + \frac{1}{4 t x}$

Schritt 1.1.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d x}{d t} = \frac{x \cdot x}{x (4 t)} + \frac{1}{4 t x}$

Schritt 1.1.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d x}{d t} = \frac{x}{4 t} + \frac{1}{4 t x}$

Schritt 1.2

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Um $\frac{x}{4 t}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x}{4 t} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{4 t x}$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $\frac{x}{4 t}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x \cdot x}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Schritt 1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d x}{d t} = \frac{x \cdot x + 1}{4 t x}$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x^{2} + 1}{4 t x}$

Schritt 1.3

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d x}{d t} = \frac{x^{2} + 1}{4 x} \cdot \frac{1}{t}$

Schritt 1.4

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{4 x}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4 x}{x^{2} + 1} (\frac{x^{2} + 1}{4 x} \cdot \frac{1}{t})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2} + 1}{4 x}$ mit $\frac{1}{t}$ .

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4 x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{4 x t}$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x t$ heraus.

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4 x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{4 x (t)}$

Schritt 1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4 x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{4 x t}$

Schritt 1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{t}$

Schritt 1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{t}$

Schritt 1.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{t}$

Schritt 1.6

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} d x = \frac{1}{t} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x = \int \frac{1}{t} d t$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x = \int \frac{1}{t} d t$

Schritt 2.2.2

Sei $u = x^{2} + 1$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Es sei $u = x^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.1

Differenziere $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.2.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.2.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.2.2.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Schritt 2.2.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$4 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Schritt 2.2.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{t} d t$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\frac{4}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Schritt 2.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Schritt 2.2.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Schritt 2.2.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Schritt 2.2.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Schritt 2.2.5.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Schritt 2.2.6

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$2 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{t} d t$

Schritt 2.2.7

Vereinfache.

$2 \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{t} d t$

Schritt 2.2.8

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{t} d t$

Schritt 2.3

Das Integral von $\frac{1}{t}$ nach $t$ ist $\ln (| t |)$ .

$2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{1} = \ln (| t |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$2 \ln (| x^{2} + 1 |) = \ln (| t |) + C$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$2 \ln (| x^{2} + 1 |) - \ln (| t |) = C$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache $2 \ln (| x^{2} + 1 |) - \ln (| t |)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) - \ln (| t |) = C$

Schritt 3.2.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| x^{2} + 1 |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - \ln (| t |) = C$

Schritt 3.2.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |}) = C$

Schritt 3.3

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |})} = e^{C}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |}$

Schritt 3.5

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |} = e^{C}$ um.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |} = e^{C}$

Schritt 3.5.2

Multipliziere beide Seiten mit $| t |$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |} | t | = e^{C} | t |$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| t |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |} | t | = e^{C} | t |$

Schritt 3.5.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

${(x^{2} + 1)}^{2} = e^{C} | t |$

Schritt 3.5.4

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x^{2} + 1 = \pm \sqrt{e^{C} | t |}$

Schritt 3.5.4.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x^{2} + 1 = \sqrt{e^{C} | t |}$

Schritt 3.5.4.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = \sqrt{e^{C} | t |} - 1$

Schritt 3.5.4.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Schritt 3.5.4.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Schritt 3.5.4.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Schritt 3.5.4.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Schritt 3.5.4.2.5

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x^{2} + 1 = - \sqrt{e^{C} | t |}$

Schritt 3.5.4.2.6

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - \sqrt{e^{C} | t |} - 1$

Schritt 3.5.4.2.7

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Schritt 3.5.4.2.8

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.2.8.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Schritt 3.5.4.2.8.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Schritt 3.5.4.2.8.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Schritt 3.5.4.2.9

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$x = \sqrt{\sqrt{C | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{C | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{C | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{C | t |} - 1}$