Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + 6}{7 y^{2}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (- \frac{x + 6}{7 y^{2}})$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = - y^{2} \frac{x + 6}{7 y^{2}}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- y^{2}$ heraus.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \cdot - 1 \frac{x + 6}{7 y^{2}}$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $7 y^{2}$ heraus.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \cdot - 1 \frac{x + 6}{y^{2} \cdot 7}$

Schritt 1.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \cdot - 1 \frac{x + 6}{y^{2} \cdot 7}$

Schritt 1.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = - \frac{x + 6}{7}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$y^{2} d y = - \frac{x + 6}{7} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y^{2} d y = \int - \frac{x + 6}{7} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{x + 6}{7} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int \frac{x + 6}{7} d x$

Schritt 2.3.2

Da $\frac{1}{7}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{7}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{7} \int x + 6 d x)$

Schritt 2.3.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{7} (\int x d x + \int 6 d x)$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{7} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int 6 d x)$

Schritt 2.3.5

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{7} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + 6 x + C_{3})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{7} (\frac{1}{2} x^{2} + 6 x) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{7} (\frac{1}{2} x^{2} + 6 x) + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{7} (\frac{1}{2} x^{2} + 6 x) + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{7} (\frac{1}{2} x^{2} + 6 x) + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{7} (\frac{1}{2} x^{2} + 6 x) + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{7} (\frac{1}{2} x^{2} + 6 x) + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $3 (- \frac{1}{7} (\frac{1}{2} x^{2} + 6 x) + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{7} (\frac{x^{2}}{2} + 6 x) + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{7} \cdot \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{7} (6 x) + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Multipliziere $- \frac{1}{7} \cdot \frac{x^{2}}{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{2}$ mit $\frac{1}{7}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{2 \cdot 7} - \frac{1}{7} (6 x) + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{14} - \frac{1}{7} (6 x) + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.4

Multipliziere $- \frac{1}{7} (6 x)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.4.1

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{14} - 6 (\frac{1}{7}) x + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.4.2

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{7}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{14} + \frac{- 6}{7} x + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.4.3

Kombiniere $\frac{- 6}{7}$ und $x$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{14} + \frac{- 6 x}{7} + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{14} - \frac{6 x}{7} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{14}) + 3 (- \frac{6 x}{7}) + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Multipliziere $3 (- \frac{x^{2}}{14})$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y^{3} = - 3 \frac{x^{2}}{14} + 3 (- \frac{6 x}{7}) + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3.1.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{x^{2}}{14}$ .

$y^{3} = \frac{- 3 x^{2}}{14} + 3 (- \frac{6 x}{7}) + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Multipliziere $3 (- \frac{6 x}{7})$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y^{3} = \frac{- 3 x^{2}}{14} - 3 \frac{6 x}{7} + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{6 x}{7}$ .

$y^{3} = \frac{- 3 x^{2}}{14} + \frac{- 3 (6 x)}{7} + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 3$ .

$y^{3} = \frac{- 3 x^{2}}{14} + \frac{- 18 x}{7} + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{3} = - \frac{3 x^{2}}{14} + \frac{- 18 x}{7} + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{3} = - \frac{3 x^{2}}{14} - \frac{18 x}{7} + 3 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{14} - \frac{18 x}{7} + 3 K}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{14} - \frac{18 x}{7} + 3 K}$ .

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Schritt 3.4.1

Um $- \frac{18 x}{7}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{14} - \frac{18 x}{7} \cdot \frac{2}{2} + 3 K}$

Schritt 3.4.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $14$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere $\frac{18 x}{7}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{14} - \frac{18 x \cdot 2}{7 \cdot 2} + 3 K}$

Schritt 3.4.2.2

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{14} - \frac{18 x \cdot 2}{14} + 3 K}$

Schritt 3.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - 18 x \cdot 2}{14} + 3 K}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.4.1

Faktorisiere $3 x$ aus $- 3 x^{2} - 18 x \cdot 2$ heraus.

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Schritt 3.4.4.1.1

Faktorisiere $3 x$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x (- x) - 18 x \cdot 2}{14} + 3 K}$

Schritt 3.4.4.1.2

Faktorisiere $3 x$ aus $- 18 x \cdot 2$ heraus.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x (- x) + 3 x (- 6 \cdot 2)}{14} + 3 K}$

Schritt 3.4.4.1.3

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x (- x) + 3 x (- 6 \cdot 2)$ heraus.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x (- x - 6 \cdot 2)}{14} + 3 K}$

Schritt 3.4.4.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x (- x - 12)}{14} + 3 K}$

Schritt 3.4.5

Um $3 K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{14}{14}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x (- x - 12)}{14} + 3 K \cdot \frac{14}{14}}$

Schritt 3.4.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.6.1

Kombiniere $3 K$ und $\frac{14}{14}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x (- x - 12)}{14} + \frac{3 K \cdot 14}{14}}$

Schritt 3.4.6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x (- x - 12) + 3 K \cdot 14}{14}}$

Schritt 3.4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.7.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x (- x - 12) + 3 K \cdot 14$ heraus.

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Schritt 3.4.7.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x (- x - 12)$ heraus.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (x (- x - 12)) + 3 K \cdot 14}{14}}$

Schritt 3.4.7.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 K \cdot 14$ heraus.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (x (- x - 12)) + 3 (K \cdot 14)}{14}}$

Schritt 3.4.7.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (x (- x - 12)) + 3 (K \cdot 14)$ heraus.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (x (- x - 12) + K \cdot 14)}{14}}$

Schritt 3.4.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (x (- x) + x \cdot - 12 + K \cdot 14)}{14}}$

Schritt 3.4.7.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (- x \cdot x + x \cdot - 12 + K \cdot 14)}{14}}$

Schritt 3.4.7.4

Bringe $- 12$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (- x \cdot x - 12 \cdot x + K \cdot 14)}{14}}$

Schritt 3.4.7.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.7.5.1

Bewege $x$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (- (x \cdot x) - 12 \cdot x + K \cdot 14)}{14}}$

Schritt 3.4.7.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (- x^{2} - 12 \cdot x + K \cdot 14)}{14}}$

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (- x^{2} - 12 x + K \cdot 14)}{14}}$

Schritt 3.4.7.6

Bringe $14$ auf die linke Seite von $K$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)}{14}}$

Schritt 3.4.8

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)}{14}}$ als $\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)}}{\sqrt[3]{14}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)}}{\sqrt[3]{14}}$

Schritt 3.4.9

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)}}{\sqrt[3]{14}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{14}}^{2}}{{\sqrt[3]{14}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)}}{\sqrt[3]{14}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{14}}^{2}}{{\sqrt[3]{14}}^{2}}$

Schritt 3.4.10

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.10.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)}}{\sqrt[3]{14}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{14}}^{2}}{{\sqrt[3]{14}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)} {\sqrt[3]{14}}^{2}}{\sqrt[3]{14} {\sqrt[3]{14}}^{2}}$

Schritt 3.4.10.2

Potenziere $\sqrt[3]{14}$ mit $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)} {\sqrt[3]{14}}^{2}}{{\sqrt[3]{14}}^{1} {\sqrt[3]{14}}^{2}}$

Schritt 3.4.10.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)} {\sqrt[3]{14}}^{2}}{{\sqrt[3]{14}}^{1 + 2}}$

Schritt 3.4.10.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)} {\sqrt[3]{14}}^{2}}{{\sqrt[3]{14}}^{3}}$

Schritt 3.4.10.5

Schreibe ${\sqrt[3]{14}}^{3}$ als $14$ um.

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Schritt 3.4.10.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{14}$ als $14^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)} {\sqrt[3]{14}}^{2}}{{(14^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 3.4.10.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)} {\sqrt[3]{14}}^{2}}{14^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 3.4.10.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)} {\sqrt[3]{14}}^{2}}{14^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.4.10.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.10.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)} {\sqrt[3]{14}}^{2}}{14^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.4.10.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)} {\sqrt[3]{14}}^{2}}{14^{1}}$

Schritt 3.4.10.5.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)} {\sqrt[3]{14}}^{2}}{14}$

Schritt 3.4.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.11.1

Schreibe ${\sqrt[3]{14}}^{2}$ als $\sqrt[3]{14^{2}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)} \sqrt[3]{14^{2}}}{14}$

Schritt 3.4.11.2

Potenziere $14$ mit $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)} \sqrt[3]{196}}{14}$

Schritt 3.4.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.12.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K) \cdot 196}}{14}$

Schritt 3.4.12.2

Mutltipliziere $196$ mit $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{588 (- x^{2} - 12 x + 14 K)}}{14}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt[3]{588 (- x^{2} - 12 x + K)}}{14}$