Analysis Beispiele

$(y x - y) d y - (y + 1) d x = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Forme um.

$- (y + 1) d x + (y x - y) d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = - (y + 1)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (y + 1)]$

Schritt 2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- (y + 1)$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y + 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y + 1]$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (1 + \frac{d}{d y} [1])$

Schritt 2.5

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (1 + 0)$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = y x - y$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y x - y]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y x - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [y x]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y x$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.4.1

Da $- y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $y$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $- 1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 1 = y$

Schritt 4.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$- 1 = y$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $y$ .

$\frac{y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 5.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $- 1$ .

$\frac{y + 1}{M}$

Schritt 5.3

Ersetze $M$ durch $- (y + 1)$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze $M$ durch $- (y + 1)$ .

$\frac{y + 1}{- (y + 1)}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 1$ .

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y + 1}{- (y + 1)}$

Schritt 5.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{- 1}$

Schritt 5.3.2.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{1}{- 1}$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 5.3.3

Ersetze $M$ durch $- (y + 1)$ .

$- 1$

Schritt 5.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - 1 d y}$

Schritt 6

Berechne das Integral $e^{\int - 1 d y}$ .

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Schritt 6.1

Wende die Konstantenregel an.

$μ (x, y) = e^{- y + C}$

Schritt 6.2

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- y} + C$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten von $- (y + 1) d x + (y x - y) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $e^{- y}$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- (y + 1)$ mit $e^{- y}$ .

$- (y + 1) e^{- y} d x + (y x - y) d y = 0$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(- y - 1 \cdot 1) e^{- y} d x + (y x - y) d y = 0$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(- y - 1) e^{- y} d x + (y x - y) d y = 0$

Schritt 7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$(- y e^{- y} - 1 e^{- y}) d x + (y x - y) d y = 0$

Schritt 7.5

Schreibe $- 1 e^{- y}$ als $- e^{- y}$ um.

$(- y e^{- y} - e^{- y}) d x + (y x - y) d y = 0$

Schritt 7.6

Mutltipliziere $y x - y$ mit $e^{- y}$ .

$(- y e^{- y} - e^{- y}) d x + (y x - y) e^{- y} d y = 0$

Schritt 7.7

Wende das Distributivgesetz an.

$(- y e^{- y} - e^{- y}) d x + (y x e^{- y} - y e^{- y}) d y = 0$

Schritt 8

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - y e^{- y} - e^{- y} d x$

Schritt 9

Integriere $M (x, y) = - y e^{- y} - e^{- y}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 9.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = (- y e^{- y} - e^{- y}) x + C$

Schritt 10

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = (- y e^{- y} - e^{- y}) x + g (y)$

Schritt 11

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Schritt 12

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 12.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [(- y e^{- y} - e^{- y}) x + g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Schritt 12.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $(- y e^{- y} - e^{- y}) x + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [(- y e^{- y} - e^{- y}) x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [(- y e^{- y} - e^{- y}) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Schritt 12.3

Berechne $\frac{d}{d y} [(- y e^{- y} - e^{- y}) x]$ .

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Schritt 12.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $(- y e^{- y} - e^{- y}) x$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [- y e^{- y} - e^{- y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [- y e^{- y} - e^{- y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Schritt 12.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- y e^{- y} - e^{- y}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [- y e^{- y}] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$ .

$x (\frac{d}{d y} [- y e^{- y}] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Schritt 12.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y e^{- y}$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y e^{- y}]$ .

$x (- \frac{d}{d y} [y e^{- y}] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Schritt 12.3.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y$ und $g (y) = e^{- y}$ .

$x (- (y \frac{d}{d y} [e^{- y}] + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Schritt 12.3.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = - y$ .

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Schritt 12.3.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- y$ .

$x (- (y (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Schritt 12.3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x (- (y (e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Schritt 12.3.5.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- y$ .

$x (- (y (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Schritt 12.3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (- (y (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y])) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Schritt 12.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Schritt 12.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Schritt 12.3.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- e^{- y}$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - \frac{d}{d y} [e^{- y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Schritt 12.3.10

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = - y$ .

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Schritt 12.3.10.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- y$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d y} [- y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Schritt 12.3.10.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{u_{2}} \frac{d}{d y} [- y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Schritt 12.3.10.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- y$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Schritt 12.3.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y]))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Schritt 12.3.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (- (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Schritt 12.3.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x (- (y (e^{- y} \cdot - 1) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Schritt 12.3.14

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- y}$ .

$x (- (y (- 1 \cdot e^{- y}) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Schritt 12.3.15

Schreibe $- 1 e^{- y}$ als $- e^{- y}$ um.

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y} \cdot 1) - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Schritt 12.3.16

Mutltipliziere $e^{- y}$ mit $1$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Schritt 12.3.17

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) - (e^{- y} \cdot - 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Schritt 12.3.18

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- y}$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) - (- 1 \cdot e^{- y})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Schritt 12.3.19

Schreibe $- 1 e^{- y}$ als $- e^{- y}$ um.

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) - - e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Schritt 12.3.20

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + 1 e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Schritt 12.3.21

Mutltipliziere $e^{- y}$ mit $1$ .

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Schritt 12.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$x (- (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + e^{- y}) + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Schritt 12.5

Vereinfache.

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Schritt 12.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (- (y (- e^{- y})) - e^{- y} + e^{- y}) + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Schritt 12.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x (- (y (- e^{- y}))) + x (- e^{- y}) + x e^{- y} + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Schritt 12.5.3

Vereine die Terme

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Schritt 12.5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x (1 (y (e^{- y}))) + x (- e^{- y}) + x e^{- y} + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Schritt 12.5.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x (y e^{- y}) + x (- e^{- y}) + x e^{- y} + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Schritt 12.5.3.3

Addiere $x (- e^{- y})$ und $x e^{- y}$ .

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Schritt 12.5.3.3.1

Stelle $x$ und $- 1$ um.

$x y e^{- y} - 1 \cdot x e^{- y} + x e^{- y} + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Schritt 12.5.3.3.2

Addiere $- 1 \cdot x e^{- y}$ und $x e^{- y}$ .

$x y e^{- y} + 0 + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Schritt 12.5.3.4

Addiere $x y e^{- y}$ und $0$ .

$x y e^{- y} + \frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Schritt 12.5.4

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + e^{- y} x y = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Schritt 12.5.5

Stelle die Faktoren in $\frac{d g}{d y} + e^{- y} x y$ um.

$\frac{d g}{d y} + x y e^{- y} = y x e^{- y} - y e^{- y}$

Schritt 13

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 13.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 13.1.1

Subtrahiere $x y e^{- y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = y x e^{- y} - y e^{- y} - x y e^{- y}$

Schritt 13.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y x e^{- y} - y e^{- y} - x y e^{- y}$ .

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Schritt 13.1.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $y x e^{- y}$ und $- x y e^{- y}$ neu an.

$\frac{d g}{d y} = e^{- y} x y - y e^{- y} - e^{- y} x y$

Schritt 13.1.2.2

Subtrahiere $e^{- y} x y$ von $e^{- y} x y$ .

$\frac{d g}{d y} = - y e^{- y} + 0$

Schritt 13.1.2.3

Addiere $- y e^{- y}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$

Schritt 14

Bestimme die Stammfunktion von $- y e^{- y}$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 14.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y e^{- y} d y$

Schritt 14.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y e^{- y} d y$

Schritt 14.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (y) = - \int y e^{- y} d y$

Schritt 14.4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = y$ und $d v = e^{- y}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y)$

Schritt 14.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y)$

Schritt 14.6

Vereinfache.

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Schritt 14.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y)$

Schritt 14.6.2

Mutltipliziere $\int e^{- y} d y$ mit $1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y)$

Schritt 14.7

Sei $u = - y$ . Dann ist $d u = - d y$ , folglich $- d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 14.7.1

Es sei $u = - y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 14.7.1.1

Differenziere $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 14.7.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 14.7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 14.7.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 14.7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u)$

Schritt 14.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u)$

Schritt 14.9

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$

Schritt 14.10

Schreibe $- (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$ als $- (- y e^{- y} - e^{u}) + C$ um.

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{u}) + C$

Schritt 14.11

Ersetze alle $u$ durch $- y$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{- y}) + C$

Schritt 14.12

Vereinfache.

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Schritt 14.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$g (y) = - (- y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Schritt 14.12.2

Multipliziere $- (- y e^{- y})$ .

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Schritt 14.12.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$g (y) = 1 (y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Schritt 14.12.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$g (y) = y e^{- y} - - e^{- y} + C$

Schritt 14.12.3

Multipliziere $- - e^{- y}$ .

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Schritt 14.12.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$g (y) = y e^{- y} + 1 e^{- y} + C$

Schritt 14.12.3.2

Mutltipliziere $e^{- y}$ mit $1$ .

$g (y) = y e^{- y} + e^{- y} + C$

Schritt 15

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = (- y e^{- y} - e^{- y}) x + g (y)$ ein.

$f (x, y) = (- y e^{- y} - e^{- y}) x + y e^{- y} + e^{- y} + C$

Schritt 16

Vereinfache $f (x, y) = (- y e^{- y} - e^{- y}) x + y e^{- y} + e^{- y} + C$ .

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Schritt 16.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = - y e^{- y} x - e^{- y} x + y e^{- y} + e^{- y} + C$

Schritt 16.2

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = - y e^{- y} x - e^{- y} x + y e^{- y} + e^{- y} + C$ um.

$f (x, y) = - y x e^{- y} - x e^{- y} + y e^{- y} + e^{- y} + C$