Analysis Beispiele

$(t^{2} + 1) d t + (y^{2} + y) d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $(t^{2} + 1) d t$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(y^{2} + y) d y = - (t^{2} + 1) d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y^{2} + y d y = \int - (t^{2} + 1) d t$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int y^{2} d y + \int y d y = \int - (t^{2} + 1) d t$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int y d y = \int - (t^{2} + 1) d t$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int - (t^{2} + 1) d t$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - (t^{2} + 1) d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere $- (t^{2} + 1)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - t^{2} - 1 \cdot 1 d t$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - t^{2} - 1 d t$

Schritt 2.3.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - t^{2} d t + \int - 1 d t$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \int t^{2} d t + \int - 1 d t$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{2}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - (\frac{1}{3} t^{3} + C_{4}) + \int - 1 d t$

Schritt 2.3.6

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - (\frac{1}{3} t^{3} + C_{4}) - t + C_{5}$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $t^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - (\frac{t^{3}}{3} + C_{4}) - t + C_{5}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{3} t^{3} - t + C_{6}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{3} t^{3} - t + K$