Analysis Beispiele

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2} y^{2}}{1 + x}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{1 + x} y^{2}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1 + x}{x^{2}}$ .

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1 + x}{x^{2}} (\frac{x^{2}}{1 + x} y^{2})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Kombiniere $\frac{x^{2}}{1 + x}$ und $y^{2}$ .

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1 + x}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} y^{2}}{1 + x}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x$ .

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Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1 + x}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} y^{2}}{1 + x}$

Schritt 1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2})$

Schritt 1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.3.3.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} y^{2}$ heraus.

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} (y^{2}))$

Schritt 1.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2})$

Schritt 1.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = y^{2}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1 + x}{x^{2}} d x = y^{2} d y$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1 + x}{x^{2}} d x = \int y^{2} d y$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (1 + x) {(x^{2})}^{- 1} d x = \int y^{2} d y$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + x) x^{2 \cdot - 1} d x = \int y^{2} d y$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int (1 + x) x^{- 2} d x = \int y^{2} d y$

Schritt 2.2.2

Multipliziere $(1 + x) x^{- 2}$ .

$\int 1 x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x = \int y^{2} d y$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$\int x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x = \int y^{2} d y$

Schritt 2.2.3.2

Multipliziere $x$ mit $x^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.3.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- 2}$ .

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Schritt 2.2.3.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int x^{- 2} + x^{1} x^{- 2} d x = \int y^{2} d y$

Schritt 2.2.3.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{- 2} + x^{1 - 2} d x = \int y^{2} d y$

Schritt 2.2.3.2.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\int x^{- 2} + x^{- 1} d x = \int y^{2} d y$

Schritt 2.2.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{- 2} d x + \int x^{- 1} d x = \int y^{2} d y$

Schritt 2.2.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C_{1} + \int x^{- 1} d x = \int y^{2} d y$

Schritt 2.2.6

Das Integral von $x^{- 1}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- x^{- 1} + C_{1} + \ln (| x |) + C_{2} = \int y^{2} d y$

Schritt 2.2.7

Vereinfache.

$- \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Schritt 2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$- \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{3} = \frac{1}{3} y^{3} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{1}{x} + \ln (| x |) = \frac{1}{3} y^{3} + C$