Analysis Beispiele

$d x - \frac{1}{1 + y^{2}} d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = - d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int - \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - 1 d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - 1 d x$

Schritt 2.2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- \int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - 1 d x$

Schritt 2.2.3

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ nach $y$ ist $\arctan (y) + C_{1}$ .

$- (\arctan (y) + C_{1}) = \int - 1 d x$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

$- \arctan (y) + C_{1} = \int - 1 d x$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$- \arctan (y) + C_{1} = - x + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \arctan (y) = - x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \arctan (y) = - x + K$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- \arctan (y) = - x + K$ durch $- 1$ .

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{- x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{- x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.2.2

Dividiere $\arctan (y)$ durch $1$ .

$\arctan (y) = \frac{- x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\arctan (y) = \frac{x}{1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$\arctan (y) = x + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{K}{- 1}$ .

$\arctan (y) = x - 1 \cdot K$

Schritt 3.1.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot K$ als $- K$ um.

$\arctan (y) = x - K$

Schritt 3.2

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$y = \tan (x - K)$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \tan (x + K)$