Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} + (3 x + 1) y = e^{- 3 x}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} + (3 x + 1) y = e^{- 3 x}$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{(3 x + 1) y}{x} = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{(3 x + 1) y}{x} = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{(3 x + 1) y}{x} = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $y$ aus $\frac{(3 x + 1) y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{3 x + 1}{x} = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Schritt 1.4

Stelle $y$ und $\frac{3 x + 1}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 x + 1}{x} y = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{3 x + 1}{x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{3 x + 1}{x} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{3 x + 1}{x}$ .

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Schritt 2.2.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$e^{\int \frac{3 x}{x} + \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$e^{\int \frac{3 x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\int \frac{3 x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.3.2

Dividiere $3$ durch $1$ .

$e^{\int 3 d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.4

Wende die Konstantenregel an.

$e^{3 x + C + \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.5

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{3 x + C + \ln (| x |) + C}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$e^{3 x + \ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{3 x + \ln (x)}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{3 x + \ln (x)}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{3 x + \ln (x)}$ .

$e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + e^{3 x + \ln (x)} (\frac{3 x + 1}{x} y) = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{3 x + 1}{x}$ und $y$ .

$e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + e^{3 x + \ln (x)} \frac{(3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $e^{3 x + \ln (x)}$ und $\frac{(3 x + 1) y}{x}$ .

$e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Schritt 3.3

Um $e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x + e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $e^{3 x + \ln (x)}$ aus $e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x + e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y$ heraus.

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Schritt 3.5.1.1

Faktorisiere $e^{3 x + \ln (x)}$ aus $e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x$ heraus.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Schritt 3.5.1.2

Faktorisiere $e^{3 x + \ln (x)}$ aus $e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y$ heraus.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{3 x + \ln (x)} ((3 x + 1) y)}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Schritt 3.5.1.3

Faktorisiere $e^{3 x + \ln (x)}$ aus $e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{3 x + \ln (x)} ((3 x + 1) y)$ heraus.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + (3 x + 1) y)}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Schritt 3.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + 1 y)}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Schritt 3.6

Multipliziere $e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$ .

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Schritt 3.6.1

Kombiniere $e^{3 x + \ln (x)}$ und $\frac{e^{- 3 x}}{x}$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{e^{3 x + \ln (x)} e^{- 3 x}}{x}$

Schritt 3.6.2

Multipliziere $e^{3 x + \ln (x)}$ mit $e^{- 3 x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{e^{3 x + \ln (x) - 3 x}}{x}$

Schritt 3.6.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x + \ln (x) - 3 x$ .

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Schritt 3.6.2.2.1

Subtrahiere $3 x$ von $3 x$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{e^{0 + \ln (x)}}{x}$

Schritt 3.6.2.2.2

Addiere $0$ und $\ln (x)$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{e^{\ln (x)}}{x}$

Schritt 3.7

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{x}{x}$

Schritt 3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{x}{x}$

Schritt 3.8.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = 1$

Schritt 3.9

Stelle die Faktoren in $\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = 1$ um.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (x \frac{d y}{d x} + 3 x y + y)}{x} = 1$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x + \ln (x)} y] = 1$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x + \ln (x)} y] d x = \int d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{3 x + \ln (x)} y = \int d x$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$e^{3 x + \ln (x)} y = x + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{3 x + \ln (x)} y = x + C$ durch $e^{3 x + \ln (x)}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{3 x + \ln (x)} y = x + C$ durch $e^{3 x + \ln (x)}$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} y}{e^{3 x + \ln (x)}} = \frac{x}{e^{3 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{3 x + \ln (x)}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{3 x + \ln (x)}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} y}{e^{3 x + \ln (x)}} = \frac{x}{e^{3 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{3 x + \ln (x)}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{e^{3 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{3 x + \ln (x)}}$