Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} = 2 x e^{x} - y + 6 x^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d y}{d x} + y = 2 x e^{x} + 6 x^{2}$

Schritt 1.2

Stelle die Terme um.

$x \frac{d y}{d x} + y = 6 x^{2} + 2 e^{x} x$

Schritt 2

Prüfe, ob die linke Seite der Gleichung das Ergebnis der Ableitung des Ausdrucks $x y$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Schritt 2.4

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Schritt 2.5

Stelle $y$ und $1$ um.

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x y] = 6 x^{2} + 2 e^{x} x$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 6 x^{2} + 2 e^{x} x d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$x y = \int 6 x^{2} + 2 e^{x} x d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$x y = \int 6 x^{2} d x + \int 2 e^{x} x d x$

Schritt 6.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$x y = 6 \int x^{2} d x + \int 2 e^{x} x d x$

Schritt 6.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 2 e^{x} x d x$

Schritt 6.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 \int e^{x} x d x$

Schritt 6.5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{x}$ .

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Schritt 6.6

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Schritt 6.7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.1

Vereinfache.

$x y = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Schritt 6.7.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.2.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{3}$ .

$x y = \frac{6}{3} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Schritt 6.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$x y = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Schritt 6.7.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$x y = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Schritt 6.7.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x y = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Schritt 6.7.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x y = \frac{2}{1} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Schritt 6.7.2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$x y = 2 x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $x y = 2 x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ durch $x$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $x y = 2 x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ durch $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.1.2.5

Dividiere $2 x^{2}$ durch $1$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $x e^{x} - e^{x}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1.2.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $x e^{x}$ heraus.

$y = 2 x^{2} + \frac{2 (e^{x} x - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.2.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- e^{x}$ heraus.

$y = 2 x^{2} + \frac{2 (e^{x} x + e^{x} \cdot - 1)}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.2.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x + e^{x} \cdot - 1$ heraus.

$y = 2 x^{2} + \frac{2 (e^{x} (x - 1))}{x} + \frac{C}{x}$

$y = 2 x^{2} + \frac{2 e^{x} (x - 1)}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.2

Um $2 x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$y = \frac{2 x^{2} x}{x} + \frac{2 e^{x} (x - 1)}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{2 x^{2} x + 2 e^{x} (x - 1)}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{2 x^{2} x + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

Schritt 7.3.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.5.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

Schritt 7.3.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

Schritt 7.3.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

Schritt 7.3.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{2 x^{3} + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

Schritt 7.3.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2 x^{3} + 2 e^{x} x + 2 e^{x} \cdot - 1 + C}{x}$

Schritt 7.3.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{2 x^{3} + 2 e^{x} x - 2 e^{x} + C}{x}$

Schritt 7.3.7

Stelle die Faktoren in $\frac{2 x^{3} + 2 e^{x} x - 2 e^{x} + C}{x}$ um.

$y = \frac{2 x^{3} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C}{x}$