Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - e^{- x}}{y + e^{y}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y + e^{y}$ .

$(y + e^{y}) \frac{d y}{d x} = (y + e^{y}) \frac{x - e^{- x}}{y + e^{y}}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + e^{y}$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(y + e^{y}) \frac{d y}{d x} = (y + e^{y}) \frac{x - e^{- x}}{y + e^{y}}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$(y + e^{y}) \frac{d y}{d x} = x - e^{- x}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$(y + e^{y}) d y = (x - e^{- x}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y + e^{y} d y = \int x - e^{- x} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int y d y + \int e^{y} d y = \int x - e^{- x} d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int e^{y} d y = \int x - e^{- x} d x$

Schritt 2.2.3

Das Integral von $e^{y}$ nach $y$ ist $e^{y}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + e^{y} + C_{2} = \int x - e^{- x} d x$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \int x - e^{- x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \int x d x + \int - e^{- x} d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - e^{- x} d x$

Schritt 2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - \int e^{- x} d x$

Schritt 2.3.4

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.4.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.4.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.3.4.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 2.3.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - \int - e^{u} d u$

Schritt 2.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - - \int e^{u} d u$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + 1 \int e^{u} d u$

Schritt 2.3.6.2

Mutltipliziere $\int e^{u} d u$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int e^{u} d u$

Schritt 2.3.7

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + e^{u} + C_{5}$

Schritt 2.3.8

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + e^{u} + C_{6}$

Schritt 2.3.9

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + e^{- x} + C_{6}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} + e^{y} = \frac{1}{2} x^{2} + e^{- x} + K$