Analysis Beispiele

$\int \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} d x$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \frac{x^{2}}{1 + x^{3}} d x$

Schritt 2

Schreibe $x^{3}$ als ${(x^{3})}^{1}$ um.

$3 \int \frac{x^{2}}{1 + {(x^{3})}^{1}} d x$

Schritt 3

Sei $u_{1} = x^{3}$ . Dann ist $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u_{1} = x^{3}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$3 \int \frac{1}{1 + {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache.

$3 \int \frac{1}{1 + u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + u_{1}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$3 \int \frac{1}{(1 + u_{1}) \cdot 3} d u_{1}$

Schritt 4.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $1 + u_{1}$ .

$3 \int \frac{1}{3 (1 + u_{1})} d u_{1}$

Schritt 5

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$\frac{3}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

Schritt 7

Sei $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Dann ist $d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Schritt 7.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + u_{1}$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 7.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 7.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 7.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 9

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 9.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 + u_{1}$ .

$\ln (| 1 + u_{1} |) + C$

Schritt 9.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{3}$ .

$\ln (| 1 + x^{3} |) + C$