Analysis Beispiele

$f (x) = 5 e^{6 x} + \frac{- 3 x^{6} + 4 x}{x^{2}}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 5 e^{6 x} + \frac{- 3 x^{6} + 4 x}{x^{2}} d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x^{6} + 4 x$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x^{6}$ heraus.

$\int 5 e^{6 x} + \frac{x (- 3 x^{5}) + 4 x}{x^{2}} d x$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $x$ aus $4 x$ heraus.

$\int 5 e^{6 x} + \frac{x (- 3 x^{5}) + x \cdot 4}{x^{2}} d x$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- 3 x^{5}) + x \cdot 4$ heraus.

$\int 5 e^{6 x} + \frac{x (- 3 x^{5} + 4)}{x^{2}} d x$

Schritt 3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\int 5 e^{6 x} + \frac{x (- 3 x^{5} + 4)}{x \cdot x} d x$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int 5 e^{6 x} + \frac{x (- 3 x^{5} + 4)}{x \cdot x} d x$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int 5 e^{6 x} + \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 5 e^{6 x} d x + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Schritt 5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int e^{6 x} d x + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Schritt 6

Sei $u = 6 x$ . Dann ist $d u = 6 d x$ , folglich $\frac{1}{6} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = 6 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 6.1.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$5 \int e^{u} \frac{1}{6} d u + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Schritt 7

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{6}$ .

$5 \int \frac{e^{u}}{6} d u + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Schritt 8

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$5 (\frac{1}{6} \int e^{u} d u) + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $5$ .

$\frac{5}{6} \int e^{u} d u + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Schritt 10

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Schritt 11

Dividiere $- 3 x^{5} + 4$ durch $x$ .

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Schritt 11.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Schritt 11.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 3 x^{5}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$3 x^{4}$

$x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Schritt 11.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$3 x^{4}$

$x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{5}$

$0$

Schritt 11.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 3 x^{5} + 0$

$3 x^{4}$

$x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{5}$

$0$

Schritt 11.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$3 x^{4}$

$x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{5}$

$0$

Schritt 11.6

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$3 x^{4}$

$x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{5}$

$0$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

Schritt 11.7

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) + \int - 3 x^{4} + \frac{4}{x} d x$

Schritt 12

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) + \int - 3 x^{4} d x + \int \frac{4}{x} d x$

Schritt 13

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) - 3 \int x^{4} d x + \int \frac{4}{x} d x$

Schritt 14

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) - 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int \frac{4}{x} d x$

Schritt 15

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{5}$ .

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \int \frac{4}{x} d x$

Schritt 16

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 4 \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 17

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 4 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 18

Vereinfache.

$\frac{5 e^{u}}{6} - \frac{3 x^{5}}{5} + 4 \ln (| x |) + C$

Schritt 19

Ersetze alle $u$ durch $6 x$ .

$\frac{5 e^{6 x}}{6} - \frac{3 x^{5}}{5} + 4 \ln (| x |) + C$

Schritt 20

Stelle die Terme um.

$\frac{5}{6} e^{6 x} - \frac{3}{5} x^{5} + 4 \ln (| x |) + C$

Schritt 21

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 5 e^{6 x} + \frac{- 3 x^{6} + 4 x}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{6} e^{6 x} - \frac{3}{5} x^{5} + 4 \ln (| x |) + C$