Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{u \sqrt{3 - u^{2}}} d u$

Schritt 1

Sei $u = \sqrt{3} \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d u = \sqrt{3} \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sqrt{3} \cos (t)$ positiv ist.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - {(\sqrt{3} \sin (t))}^{2}}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - {(\sqrt{3} \sin (t))}^{2}}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel auf $\sqrt{3} \sin (t)$ an.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - ({\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (t))}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} \cdot 1 - ({\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (t))}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere ${\sqrt{3}}^{2}$ aus $- ({\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (t))$ heraus.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{3}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere ${\sqrt{3}}^{2}$ aus ${\sqrt{3}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{3}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))$ heraus.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} \cdot (1 - (\sin^{2} (t)))}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3^{1} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.6.5

Berechne den Exponenten.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3 \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3 \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.7

Stelle $3$ und $\cos^{2} (t)$ um.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 3}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) (\cos (t) \sqrt{3})} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Schritt 2.2.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Schritt 2.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{1 + 1} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Schritt 2.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Schritt 2.2.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.2.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{1}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Schritt 2.2.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Schritt 2.2.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int \frac{1}{3^{\frac{2}{2}} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Schritt 2.2.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{3^{\frac{2}{2}} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Schritt 2.2.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{1}{3^{1} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Schritt 2.2.5.5

Berechne den Exponenten.

$\int \frac{1}{3 \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Schritt 2.2.6

Kombiniere $\sqrt{3}$ und $\frac{1}{3 \sin (t) \cos (t)}$ .

$\int \frac{\sqrt{3}}{3 \sin (t) \cos (t)} \cos (t) d t$

Schritt 2.2.7

Kombiniere $\frac{\sqrt{3}}{3 \sin (t) \cos (t)}$ und $\cos (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

Schritt 2.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (t)$ .

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Schritt 2.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

Schritt 2.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{\sqrt{3}}{3 \sin (t)} d t$

Schritt 3

Da $\frac{\sqrt{3}}{3}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{\sqrt{3}}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \int \frac{1}{\sin (t)} d t$

Schritt 4

Wandle von $\frac{1}{\sin (t)}$ nach $\csc (t)$ um.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \int \csc (t) d t$

Schritt 5

Das Integral von $\csc (t)$ nach $t$ ist $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Schritt 7

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (\frac{u}{\sqrt{3}})$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{u}{\sqrt{3}})) - \cot (\arcsin (\frac{u}{\sqrt{3}})) |) + C$

Schritt 8

Stelle die Terme um.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{1}{\sqrt{3}} u)) - \cot (\arcsin (\frac{1}{\sqrt{3}} u)) |) + C$