Analysis Beispiele

$\int_{a}^{b} \frac{g (x)}{| g (x) | \sqrt{{(g (x))}^{2} - 1}} d x$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x}{| g x | \sqrt{{(g x)}^{2} - 1^{2}}} d x]$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = g x$ und $b = 1$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x}{| g x | \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}} d x]$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{g x}{| g x | \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}$ mit $\frac{\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x}{| g x | \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}} d x]$

Schritt 3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{g x}{| g x | \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}$ mit $\frac{\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)} \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}} d x]$

Schritt 3.2

Bewege $\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | (\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)} \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)})} d x]$

Schritt 3.3

Potenziere $\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}$ mit $1$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | ({\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}^{1} \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)})} d x]$

Schritt 3.4

Potenziere $\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}$ mit $1$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | ({\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}^{1} {\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}^{1})} d x]$

Schritt 3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}^{1 + 1}} d x]$

Schritt 3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}^{2}} d x]$

Schritt 3.7

Schreibe ${\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}^{2}$ als $(g x + 1) (g x - 1)$ um.

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Schritt 3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}$ als ${((g x + 1) (g x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {({((g x + 1) (g x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x]$

Schritt 3.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {((g x + 1) (g x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d x]$

Schritt 3.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {((g x + 1) (g x - 1))}^{\frac{2}{2}}} d x]$

Schritt 3.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {((g x + 1) (g x - 1))}^{\frac{2}{2}}} d x]$

Schritt 3.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {((g x + 1) (g x - 1))}^{1}} d x]$

Schritt 3.7.5

Vereinfache.

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | ((g x + 1) (g x - 1))} d x]$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Forme um.

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)} \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}} d x]$

Schritt 4.2

Bewege $\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | (\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)} \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)})} d x]$

Schritt 4.3

Potenziere $\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}$ mit $1$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | ({\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}^{1} \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)})} d x]$

Schritt 4.4

Potenziere $\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}$ mit $1$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | ({\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}^{1} {\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}^{1})} d x]$

Schritt 4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}^{1 + 1}} d x]$

Schritt 4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}^{2}} d x]$

Schritt 4.7

Schreibe ${\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}^{2}$ als $(g x + 1) (g x - 1)$ um.

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Schritt 4.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}$ als ${((g x + 1) (g x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {({((g x + 1) (g x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x]$

Schritt 4.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {((g x + 1) (g x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d x]$

Schritt 4.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {((g x + 1) (g x - 1))}^{\frac{2}{2}}} d x]$

Schritt 4.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {((g x + 1) (g x - 1))}^{\frac{2}{2}}} d x]$

Schritt 4.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | {((g x + 1) (g x - 1))}^{1}} d x]$

Schritt 4.7.5

Vereinfache.

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | ((g x + 1) (g x - 1))} d x]$

Schritt 4.8

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{d}{d b} [\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | (g x + 1) (g x - 1)} d x]$

Schritt 5

Nehme die Ableitung von $\int_{a}^{b} \frac{g x \sqrt{(g x + 1) (g x - 1)}}{| g x | (g x + 1) (g x - 1)} d x$ in Bezug auf $b$ unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Analysis.

$\frac{g b \sqrt{(g b + 1) (g b - 1)}}{| g b | (g b + 1) (g b - 1)}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{g b \sqrt{(g b + 1) (g b - 1)}}{(| g b | (g b) + | g b | \cdot 1) (g b - 1)}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $| g b |$ mit $1$ .

$\frac{g b \sqrt{(g b + 1) (g b - 1)}}{(| g b | (g b) + | g b |) (g b - 1)}$

Schritt 6.3

Stelle die Terme um.

$\frac{b g \sqrt{(g b + 1) (g b - 1)}}{(g b - 1) (| g b | (g b) + | g b |)}$

Schritt 6.4

Faktorisiere $| g b |$ aus $| g b | (g b) + | g b |$ heraus.

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Schritt 6.4.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{b g \sqrt{(g b + 1) (g b - 1)}}{(g b - 1) (| g b | (g b) + | g b | \cdot 1)}$

Schritt 6.4.2

Faktorisiere $| g b |$ aus $| g b | (g b) + | g b | \cdot 1$ heraus.

$\frac{b g \sqrt{(g b + 1) (g b - 1)}}{(g b - 1) (| g b | (g b + 1))}$

$\frac{b g \sqrt{(g b + 1) (g b - 1)}}{(g b - 1) | g b | (g b + 1)}$

Schritt 6.5

Stelle die Faktoren in $\frac{b g \sqrt{(g b + 1) (g b - 1)}}{(g b - 1) | g b | (g b + 1)}$ um.

$\frac{b g \sqrt{(g b + 1) (g b - 1)}}{| g b | (g b - 1) (g b + 1)}$