Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{42 x + 5 + 49 x^{2}}{6 x^{3} - 9 x^{4}}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{4}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{42 x}{x^{4}} + \frac{5}{x^{4}} + \frac{49 x^{2}}{x^{4}}}{\frac{6 x^{3}}{x^{4}} + \frac{- 9 x^{4}}{x^{4}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{4}$ .

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $42 x$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 42}{x^{4}} + \frac{5}{x^{4}} + \frac{49 x^{2}}{x^{4}}}{\frac{6 x^{3}}{x^{4}} + \frac{- 9 x^{4}}{x^{4}}}$

Schritt 2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 42}{x \cdot x^{3}} + \frac{5}{x^{4}} + \frac{49 x^{2}}{x^{4}}}{\frac{6 x^{3}}{x^{4}} + \frac{- 9 x^{4}}{x^{4}}}$

Schritt 2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 42}{x \cdot x^{3}} + \frac{5}{x^{4}} + \frac{49 x^{2}}{x^{4}}}{\frac{6 x^{3}}{x^{4}} + \frac{- 9 x^{4}}{x^{4}}}$

Schritt 2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{42}{x^{3}} + \frac{5}{x^{4}} + \frac{49 x^{2}}{x^{4}}}{\frac{6 x^{3}}{x^{4}} + \frac{- 9 x^{4}}{x^{4}}}$

Schritt 2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{4}$ .

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $49 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{42}{x^{3}} + \frac{5}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 49}{x^{4}}}{\frac{6 x^{3}}{x^{4}} + \frac{- 9 x^{4}}{x^{4}}}$

Schritt 2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{42}{x^{3}} + \frac{5}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 49}{x^{2} x^{2}}}{\frac{6 x^{3}}{x^{4}} + \frac{- 9 x^{4}}{x^{4}}}$

Schritt 2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{42}{x^{3}} + \frac{5}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 49}{x^{2} x^{2}}}{\frac{6 x^{3}}{x^{4}} + \frac{- 9 x^{4}}{x^{4}}}$

Schritt 2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{42}{x^{3}} + \frac{5}{x^{4}} + \frac{49}{x^{2}}}{\frac{6 x^{3}}{x^{4}} + \frac{- 9 x^{4}}{x^{4}}}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{4}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $6 x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{42}{x^{3}} + \frac{5}{x^{4}} + \frac{49}{x^{2}}}{\frac{x^{3} \cdot 6}{x^{4}} + \frac{- 9 x^{4}}{x^{4}}}$

Schritt 2.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{42}{x^{3}} + \frac{5}{x^{4}} + \frac{49}{x^{2}}}{\frac{x^{3} \cdot 6}{x^{3} x} + \frac{- 9 x^{4}}{x^{4}}}$

Schritt 2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{42}{x^{3}} + \frac{5}{x^{4}} + \frac{49}{x^{2}}}{\frac{x^{3} \cdot 6}{x^{3} x} + \frac{- 9 x^{4}}{x^{4}}}$

Schritt 2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{42}{x^{3}} + \frac{5}{x^{4}} + \frac{49}{x^{2}}}{\frac{6}{x} + \frac{- 9 x^{4}}{x^{4}}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{42}{x^{3}} + \frac{5}{x^{4}} + \frac{49}{x^{2}}}{\frac{6}{x} + \frac{- 9 x^{4}}{x^{4}}}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere $- 9$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{42}{x^{3}} + \frac{5}{x^{4}} + \frac{49}{x^{2}}}{\frac{6}{x} - 9}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{42}{x^{3}} + \frac{5}{x^{4}} + \frac{49}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} - 9}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{42}{x^{3}} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{4}} + lim_{x \to \infty} \frac{49}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} - 9}$

Schritt 2.5

Ziehe den Term $42$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{42 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{4}} + lim_{x \to \infty} \frac{49}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} - 9}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{3}}$ $0$ .

$\frac{42 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{4}} + lim_{x \to \infty} \frac{49}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} - 9}$

Schritt 4

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{42 \cdot 0 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + lim_{x \to \infty} \frac{49}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} - 9}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{4}}$ $0$ .

$\frac{42 \cdot 0 + 5 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{49}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} - 9}$

Schritt 6

Ziehe den Term $49$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{42 \cdot 0 + 5 \cdot 0 + 49 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} - 9}$

Schritt 7

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{42 \cdot 0 + 5 \cdot 0 + 49 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} - 9}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 8.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{42 \cdot 0 + 5 \cdot 0 + 49 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} - lim_{x \to \infty} 9}$

Schritt 8.2

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{42 \cdot 0 + 5 \cdot 0 + 49 \cdot 0}{6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 9}$

Schritt 9

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{42 \cdot 0 + 5 \cdot 0 + 49 \cdot 0}{6 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} 9}$

Schritt 10

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{42 \cdot 0 + 5 \cdot 0 + 49 \cdot 0}{6 \cdot 0 - 1 \cdot 9}$

Schritt 10.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.1.1

Mutltipliziere $42$ mit $0$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0 + 49 \cdot 0}{6 \cdot 0 - 1 \cdot 9}$

Schritt 10.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0 + 49 \cdot 0}{6 \cdot 0 - 1 \cdot 9}$

Schritt 10.2.1.3

Mutltipliziere $49$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{6 \cdot 0 - 1 \cdot 9}$

Schritt 10.2.1.4

Addiere $0 + 0$ und $0$ .

$\frac{0 + 0}{6 \cdot 0 - 1 \cdot 9}$

Schritt 10.2.1.5

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{6 \cdot 0 - 1 \cdot 9}$

Schritt 10.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$\frac{0}{0 - 1 \cdot 9}$

Schritt 10.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{0}{0 - 9}$

Schritt 10.2.2.3

Subtrahiere $9$ von $0$ .

$\frac{0}{- 9}$

Schritt 10.2.3

Dividiere $0$ durch $- 9$ .

$0$