Analysis Beispiele

$\frac{x + y}{x - y} = x^{2} + y^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\frac{x + y}{x - y}) = \frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + y$ und $g (x) = x - y$ .

$\frac{(x - y) \frac{d}{d x} [x + y] - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x - y) (1 + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 - \frac{d}{d x} [y])}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.7

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8

Vereinfache.

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Schritt 2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x - y) (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.2.1.1

Multipliziere $(x - y) (1 + y')$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.8.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (1 + y') - y (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot 1 + x y' - y (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot 1 + x y' - y \cdot 1 - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.2.1.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x + x y' - y \cdot 1 - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.1.3

Multipliziere $(- x - y) (1 - y')$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.8.2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x (1 - y') - y (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x \cdot 1 - x (- y') - y (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x \cdot 1 - x (- y') - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x - x (- y') - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.1.4.2

Multipliziere $- x (- y')$ .

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Schritt 2.8.2.1.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + 1 x y' - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.1.4.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.1.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.1.4.4

Multipliziere $- y (- y')$ .

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Schritt 2.8.2.1.4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + 1 y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.1.4.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + y y'$ .

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Schritt 2.8.2.2.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{x y' - y - y y' + 0 + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.2.2

Addiere $x y' - y - y y'$ und $0$ .

$\frac{x y' - y - y y' + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.2.3

Addiere $- y y'$ und $y y'$ .

$\frac{x y' - y + x y' - y + 0}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.2.4

Addiere $x y' - y + x y' - y$ und $0$ .

$\frac{x y' - y + x y' - y}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.3

Addiere $x y'$ und $x y'$ .

$\frac{2 x y' - y - y}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.4

Subtrahiere $y$ von $- y$ .

$\frac{2 x y' - 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x y' - 2 y$ heraus.

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Schritt 2.8.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x y'$ heraus.

$\frac{2 (x y') - 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y$ heraus.

$\frac{2 (x y') + 2 (- y)}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x y') + 2 (- y)$ heraus.

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x + 2 y y'$

Schritt 3.3

Stelle die Terme um.

$2 y y' + 2 x$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} = 2 y y' + 2 x$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten mit ${(x - y)}^{2}$ .

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2} = (2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x - y)}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2} = (2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (x y' - y) = (2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (x y') + 2 (- y) = (2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 x y' - 2 y = (2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.3.2

Bewege $x$ .

$2 y' x - 2 y = (2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $(2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y' x - 2 y = 2 y y' {(x - y)}^{2} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Schritt 5.2.2.1.2

Bewege $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y {(x - y)}^{2} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Schritt 5.3

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Schreibe ${(x - y)}^{2}$ als $(x - y) (x - y)$ um.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y ((x - y) (x - y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Schritt 5.3.1.2

Multipliziere $(x - y) (x - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x (x - y) - y (x - y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Schritt 5.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x \cdot x + x (- y) - y (x - y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Schritt 5.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Schritt 5.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Schritt 5.3.1.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - y x - y (- y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Schritt 5.3.1.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Schritt 5.3.1.3.1.4

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.3.1.4.1

Bewege $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Schritt 5.3.1.3.1.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Schritt 5.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Schritt 5.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - y x + y^{2}) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Schritt 5.3.1.3.2

Subtrahiere $y x$ von $- x y$ .

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Schritt 5.3.1.3.2.1

Bewege $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Schritt 5.3.1.3.2.2

Subtrahiere $x y$ von $- x y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Schritt 5.3.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' y (- 2 x y) + 2 y' y \cdot y^{2} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Schritt 5.3.1.5

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1.5.1

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.5.1.1

Bewege $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' (y \cdot y) (- 2 x) + 2 y' y \cdot y^{2} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Schritt 5.3.1.5.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' y^{2} (- 2 x) + 2 y' y \cdot y^{2} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Schritt 5.3.1.5.2

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.5.2.1

Bewege $y^{2}$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' y^{2} (- 2 x) + 2 y' (y^{2} y) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Schritt 5.3.1.5.2.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 5.3.1.5.2.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' y^{2} (- 2 x) + 2 y' (y^{2} y^{1}) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Schritt 5.3.1.5.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' y^{2} (- 2 x) + 2 y' y^{2 + 1} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Schritt 5.3.1.5.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' y^{2} (- 2 x) + 2 y' y^{3} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Schritt 5.3.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Schritt 5.3.1.7

Schreibe ${(x - y)}^{2}$ als $(x - y) (x - y)$ um.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x ((x - y) (x - y))$

Schritt 5.3.1.8

Multipliziere $(x - y) (x - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.3.1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x (x - y) - y (x - y))$

Schritt 5.3.1.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x \cdot x + x (- y) - y (x - y))$

Schritt 5.3.1.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y))$

Schritt 5.3.1.9

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.3.1.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.9.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y))$

Schritt 5.3.1.9.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - y x - y (- y))$

Schritt 5.3.1.9.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y)$

Schritt 5.3.1.9.1.4

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.9.1.4.1

Bewege $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y))$

Schritt 5.3.1.9.1.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2})$

Schritt 5.3.1.9.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2})$

Schritt 5.3.1.9.1.6

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - y x + y^{2})$

Schritt 5.3.1.9.2

Subtrahiere $y x$ von $- x y$ .

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Schritt 5.3.1.9.2.1

Bewege $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2})$

Schritt 5.3.1.9.2.2

Subtrahiere $x y$ von $- x y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - 2 x y + y^{2})$

Schritt 5.3.1.10

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (- 2 x y) + 2 x y^{2}$

Schritt 5.3.1.11

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1.11.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.11.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 (x^{2} x) + 2 x (- 2 x y) + 2 x y^{2}$

Schritt 5.3.1.11.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 5.3.1.11.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (- 2 x y) + 2 x y^{2}$

Schritt 5.3.1.11.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{2 + 1} + 2 x (- 2 x y) + 2 x y^{2}$

Schritt 5.3.1.11.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} + 2 x (- 2 x y) + 2 x y^{2}$

Schritt 5.3.1.11.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.11.2.1

Bewege $x$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} + 2 (x \cdot x) (- 2 y) + 2 x y^{2}$

Schritt 5.3.1.11.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} + 2 x^{2} (- 2 y) + 2 x y^{2}$

Schritt 5.3.1.12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.12.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot - 2 x^{2} y + 2 x y^{2}$

Schritt 5.3.1.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} - 4 x^{2} y + 2 x y^{2}$

Schritt 5.3.2

Da $y'$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} - 4 x^{2} y + 2 x y^{2} = 2 y' x - 2 y$

Schritt 5.3.3

Subtrahiere $2 y' x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} - 4 x^{2} y + 2 x y^{2} - 2 y' x = - 2 y$

Schritt 5.3.4

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} - 4 x^{2} y + 2 x y^{2} - 2 y' x = - 2 y - 2 x^{3}$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $4 x^{2} y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x y^{2} - 2 y' x = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y$

Schritt 5.3.4.3

Subtrahiere $2 x y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} - 2 y' x = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Schritt 5.3.5

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} - 2 y' x$ heraus.

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Schritt 5.3.5.1

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y' y x^{2}$ heraus.

$2 y' (y x^{2}) - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} - 2 y' x = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Schritt 5.3.5.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $- 4 y' y^{2} x$ heraus.

$2 y' (y x^{2}) + 2 y' (- 2 y^{2} x) + 2 y' y^{3} - 2 y' x = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Schritt 5.3.5.3

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y' y^{3}$ heraus.

$2 y' (y x^{2}) + 2 y' (- 2 y^{2} x) + 2 y' y^{3} - 2 y' x = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Schritt 5.3.5.4

Faktorisiere $2 y'$ aus $- 2 y' x$ heraus.

$2 y' (y x^{2}) + 2 y' (- 2 y^{2} x) + 2 y' y^{3} + 2 y' (- 1 x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Schritt 5.3.5.5

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y' (y x^{2}) + 2 y' (- 2 y^{2} x)$ heraus.

$2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x) + 2 y' y^{3} + 2 y' (- 1 x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Schritt 5.3.5.6

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x) + 2 y' y^{3}$ heraus.

$2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3}) + 2 y' (- 1 x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Schritt 5.3.5.7

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3}) + 2 y' (- 1 x)$ heraus.

$2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - 1 x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Schritt 5.3.6

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Schritt 5.3.7

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$ durch $2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.7.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$ durch $2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)$ .

$\frac{2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} = \frac{- 2 y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x^{3}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Schritt 5.3.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.3.7.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} = \frac{- 2 y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x^{3}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Schritt 5.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x$ .

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Schritt 5.3.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.3.7.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x^{3}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Schritt 5.3.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 5.3.7.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y$ heraus.

$y' = \frac{2 (- y)}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x^{3}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Schritt 5.3.7.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.7.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.3.7.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{- 2 x^{3}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Schritt 5.3.7.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{- 2 x^{3}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Schritt 5.3.7.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 5.3.7.3.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 (- x^{3})}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Schritt 5.3.7.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.7.3.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.3.7.3.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{- x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Schritt 5.3.7.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Schritt 5.3.7.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 5.3.7.3.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2} y$ heraus.

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 (2 x^{2} y)}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Schritt 5.3.7.3.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.7.3.1.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.3.7.3.1.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 x^{2} y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Schritt 5.3.7.3.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 5.3.7.3.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x y^{2}$ heraus.

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 x^{2} y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 (- x y^{2})}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Schritt 5.3.7.3.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.7.3.1.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.3.7.3.1.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 x^{2} y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{- x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Schritt 5.3.7.3.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 x^{2} y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Schritt 5.3.7.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.7.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- y - x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 x^{2} y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Schritt 5.3.7.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- y - x^{3} + 2 x^{2} y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Schritt 5.3.7.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- y - x^{3} + 2 x^{2} y - x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Schritt 5.3.7.3.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$y' = \frac{- (y) - x^{3} + 2 x^{2} y - x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Schritt 5.3.7.3.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{- (y) - (x^{3}) + 2 x^{2} y - x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Schritt 5.3.7.3.2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - (x^{3})$ heraus.

$y' = \frac{- (y + x^{3}) + 2 x^{2} y - x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Schritt 5.3.7.3.2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $2 x^{2} y$ heraus.

$y' = \frac{- (y + x^{3}) - (- 2 x^{2} y) - x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Schritt 5.3.7.3.2.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y + x^{3}) - (- 2 x^{2} y)$ heraus.

$y' = \frac{- (y + x^{3} - 2 x^{2} y) - x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Schritt 5.3.7.3.2.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- x y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{- (y + x^{3} - 2 x^{2} y) - (x y^{2})}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Schritt 5.3.7.3.2.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y + x^{3} - 2 x^{2} y) - (x y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{- (y + x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2})}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Schritt 5.3.7.3.2.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.7.3.2.11.1

Schreibe $- (y + x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2})$ als $- 1 (y + x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2})$ um.

$y' = \frac{- 1 (y + x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2})}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Schritt 5.3.7.3.2.11.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y + x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y + x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$